[论文解读] An algorithm to find the spectral radius of nonnegative tensors and its convergence analysis

Yuning Yang, Qingzhi Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出了一种迭代算法，通过扩展用于非负矩阵的平滑方法，计算非负张量的谱半径。对于不可约非负张量，该算法被证明能全局收敛至谱半径及其对应的正特征向量，为现有方法提供了一种可靠且收敛的替代方案。

ABSTRACT

In this paper we propose an iterative algorithm to find out the spectral radius of nonnegative tensors. This algorithm is an extension of the smoothing method for finding the largest eigenvalue of a nonnegative matrix \cite{s14}. For nonnegative irreducible tensors, we establish the converges of the algorithm. Finally we report some numerical results and conclude this paper with some remarks.

研究动机与目标

• 开发一种可靠且收敛的算法，用于计算非负张量的谱半径。
• 将用于非负矩阵的平滑方法扩展至高阶张量。
• 为不可约非负张量建立理论收敛性。
• 通过合成张量和随机张量示例对算法性能进行数值验证。

提出的方法

• 该算法通过一系列对角变换和迭代精化来近似谱半径。
• 采用平滑技术处理高阶张量特征值问题中的非线性。
• 该方法交替计算上界 $ R^{(k)} $ 和下界 $ r^{(k)} $，二者收敛于谱半径。
• 关键组成部分是使用向量归一化和类似幂迭代的方法来更新特征向量与特征值的估计。
• 通过反证法分析收敛性，假设上下界不收敛，并利用不可约张量的Perron-Frobenius性质导出矛盾。
• 算法实现采用终止条件 $ R^{(k)} - r^{(k)} \leq 10^{-7} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 非负矩阵的平滑方法能否推广至计算非负张量的谱半径？
• RQ2 所提出的算法是否对不可约非负张量收敛至真实谱半径？
• RQ3 该算法在不同阶数和维度的张量上的数值表现如何？
• RQ4 对角变换与归一化对收敛行为有何影响？
• RQ5 该算法能否有效应用于可约张量，若能，其适用条件是什么？

主要发现

• 如定理3.2所证明，该算法对任意非负不可约张量均收敛至谱半径 $ \rho(\mathcal{A}) $。
• 在示例1的3阶3维张量中，算法计算得 $ \rho(\mathcal{B}) = 5.79262 $，于第50次迭代实现收敛。
• 该算法对所有测试的随机张量（包括可约张量）均收敛至谱半径，如表2所示。
• 收敛速率受 $ \mathcal{A}(\alpha) = \mathcal{B} + \alpha\mathcal{I} $ 中对角平移参数 $ \alpha $ 的影响，尽管最优取值有待进一步研究。
• 数值结果表明算法具有高精度，$ R^{(k)} - r^{(k)} \leq 10^{-7} $，且特征方程残差低于 $ 10^{-8} $，表明收敛性稳健。