[论文解读] An algorithm to recognize regular singular Mahler systems

Colin Faverjon, Marina Poulet|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2021

semigroups and automata theory参考文献 23被引用 1

一句话总结

本文提出了首个用于判断Mahler系统在0处是否为正则奇异的算法，填补了Mahler系统奇异理论中的关键空白。通过利用解空间的有限维子空间对正则奇异系统进行表征，并结合规范变换准则，该算法可判断系统是否等价于常系数系统，从而使得Schlesinger密度定理得以应用，并将微分与(q-)差分系统中的经典结果推广至Mahler情形。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the analytic properties of Mahler systems at 0. We give an effective characterisation of Mahler systems that are regular singular at 0, that is, systems which are equivalent to constant ones. Similar characterisations already exist for differential and (q-)difference systems but they do not apply in the Mahler case. This work fills in the gap by giving an algorithm which decides whether or not a Mahler system is regular singular at 0. In particular, it gives an effective characterisation of Mahler systems to which an analog of Schlesinger's density theorem applies.

研究动机与目标

• 填补Mahler系统奇异理论中的空白，因为现有适用于微分与(q-)差分系统的算法不适用于Mahler算子。
• 提供一种对在0处正则奇异的Mahler系统的有效表征，即通过Puiseux级数域中的规范变换与常系数系统等价。
• 通过识别正则奇异条件成立的时机，使Schlesinger密度定理可应用于Mahler系统。
• 开发一种具体且可实现的算法，基于解空间的维数与矩阵结构来判断正则奇异性。
• 通过限制在Puiseux级数域中，明确Mahler系统解的解析行为，保持适度增长性与分支亚纯性。

提出的方法

• 将正则奇异Mahler系统定义为与常系数系统K-等价的系统，其中K为代数系数的Puiseux级数域。
• 利用Mahler算子φ_p的作用，构造H（Hahn级数）中系统φ_p(Y) = AY的有限维解子空间X_d。
• 对每个d ≥ 1，计算解空间X_d的维数，其中解的赋值至少为d；正则奇异系统的特点是dim X_d在d = 1时趋于稳定。
• 使用算法逐步计算X_d的维数，直至达到稳定或达到界限；若在d = 1时稳定，则系统为正则奇异。
• 应用规范变换Ψ ∈ GL_m(K)，使得φ_p(Ψ)^{-1} A Ψ为常数矩阵，利用X_1中的解基。
• 利用解在K中为分支亚纯函数（由Randé定理）的事实，确保解析控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个有效算法，以判断给定Mahler系统在0处是否为正则奇异，尽管现有方法对Mahler算子不适用？
• RQ2 正则奇异Mahler系统的精确代数与解析表征是什么，其解空间结构如何？
• RQ3 Schlesinger密度定理在何种条件下可推广至Mahler系统？如何通过算法确定该条件？
• RQ4 当系统矩阵A可逆时，正则奇异性质如何变化？是否存在对A和A^{-1}均产生正则奇异系统的矩阵A的表征？
• RQ5 正则奇异性质对Mahler算子φ_p的选择如何依赖？对于固定的A，系统是否对所有p或仅对有限多个p为正则奇异？

主要发现

• 该算法通过计算X_d的维数来判断正则奇异性，当dim X_d在d = 1时趋于稳定，则系统为正则奇异。
• 例5.1中的系统在0处为正则奇异，dim X_2 = 2，且对应的规范变换矩阵Ψ满足φ_3(Ψ)^{-1} A Ψ = I_2。
• Rudin-Shapiro序列对应的Mahler系统不是正则奇异的，因为算法2返回d = 3且dim X_3 = 1，导致算法3返回'False'。
• 严格Fuchsian系统（在0处解析且A(0)可逆）总是正则奇异的，但反之不成立，表明正则奇异性是比Fuchsian性更弱的条件。
• 正则奇异Mahler系统的逆不一定是正则奇异的，如第5.2节中的反例所示。
• 正则奇异性质在p变化下不保持不变：一个在p = 3时为正则奇异的系统在p = 2或其他值时可能不再为正则奇异，表明其对p的依赖关系非均匀。