[论文解读] An algorithm to verify local threshold testability of deterministic finite automata

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|May 22, 2021

semigroups and automata theory被引用 8

一句话总结

本文提出了首个多项式时间算法，用于验证确定性有限自动机（DFA）的局部阈值可测试性，通过分析乘积图 Γ×Γ 和 Γ×Γ×Γ 中的可达性和强连通分量（SCCs），运行时间为 O(n⁵)。关键贡献在于基于状态转移图中的结构条件，对局部阈值可测试性进行了表征，从而实现了在模式识别和形式语言理论应用中的高效算法验证。

ABSTRACT

A locally threshold testable language L is a language with the property that for some non negative integers k and l, whether or not a word u is in the language L depends on (1) the prefix and suffix of the word u of length k > 1 and (2) the set of intermediate substrings of length k of the word u where the sets of substrings occurring at least j times are the same, for j <= L. For given k and L the language is called l-threshold k-testable. A finite deterministic automaton is called l-threshold k-testable if the automaton accepts a l-threshold k-testable language. In this paper, the necessary and sufficient conditions for an automaton to be locally threshold testable are found. We introduce the first polynomial time algorithm to verify local threshold testability of the automaton based on this characterization. New version of polynomial time algorithm to verify the local testability will be presented too.

研究动机与目标

• 建立确定性有限自动机（DFA）为局部阈值可测试的必要与充分条件。
• 开发一种高效算法以验证局部阈值可测试性，填补了现有方法依赖于非多项式规模的半群所带来的空白。
• 提供一种直接在自动机状态转移图上实现的实用多项式时间解决方案，用于验证局部阈值可测试性。
• 将先前关于局部可测试性的研究扩展到更一般的局部阈值可测试性情形，从而在模式识别和语言建模中实现更广泛的应用。

提出的方法

• 构建 DFA 的状态转移图 Γ，并计算其乘积图 Γ×Γ 和 Γ×Γ×Γ。
• 在 Γ、Γ×Γ 和 Γ×Γ×Γ 中识别所有强连通分量（SCCs），并标记所有 SCC 节点。
• 在 Γ 和 Γ×Γ 上使用可达性分析构建可达性表，时间复杂度为 O(n⁴)。
• 检查涉及 SCC 节点和可达性关系的结构条件：对于 (p,q) ≠ (r,s)，验证 p∼q 是否蕴含 p=q；对于 p≻q，确保其在转移下的相容性。
• 验证所有相关状态五元组的 SCC T_SCC(p,q,r,r₁) 和 T_SCC(p,r,q,q₁) 是否相等，前提是两者均非空。
• 该算法运行时间为 O(n⁵)，其基础是基于乘积图上的图论条件对局部阈值可测试性进行的表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定性有限自动机为局部阈值可测试的必要与充分条件是什么？
• RQ2 是否可以在多项式时间内直接在自动机的状态转移图上验证局部阈值可测试性，而无需使用语法半群？
• RQ3 如何利用乘积图 Γ×Γ 和 Γ×Γ×Γ 的结构特性来表征局部阈值可测试性？
• RQ4 验证局部阈值可测试性的计算复杂度是多少？是否可将其降低至 O(n⁵) 以下？
• RQ5 该算法能否被调整以更高效地验证局部可测试性作为特例（l=1）？

主要发现

• 本文基于乘积图 Γ×Γ 和 Γ×Γ×Γ 中的可达性与 SCC 结构，完整表征了局部阈值可测试性。
• 提出了一种 O(n⁵) 时间复杂度的算法，用于验证局部阈值可测试性，其核心是检查 SCC 节点和可达性关系上的特定结构条件。
• 该算法是首个直接在自动机上实现多项式时间验证局部阈值可测试性的算法，避免了与语法半群相关的指数级膨胀。
• 对于局部可测试性特例（l=1），提出了更高效的 O(n²) 算法，优于以往方法。
• 该方法在理论上严谨且具有实际应用价值，潜在应用于模式识别、语音识别和形式语言处理。