[论文解读] An Algorithmic Meta Theorem for Homomorphism Indistinguishability

Tim Seppelt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Cryptography and Data Security被引用 1

一句话总结

本文提出了一种随机化多项式时间算法，用于判定任意有界树宽且可由计数一阶二阶逻辑（CMSO2）定义的图类 F 上的同态不可区分性。通过利用 Courcelle 定理和图代数中的有限维同态张量，作者证明此类问题属于 coRP，从而首次在孤立情况之外提供了同态不可区分性的通用可 tractability 结果。

ABSTRACT

Two graphs $G$ and $H$ are homomorphism indistinguishable over a family of graphs $\mathcal{F}$ if for all graphs $F \in \mathcal{F}$ the number of homomorphisms from $F$ to $G$ is equal to the number of homomorphism from $F$ to $H$. Many natural equivalence relations comparing graphs such as (quantum) isomorphism, cospectrality, and logical equivalences can be characterised as homomorphism indistinguishability relations over various graph classes. For a fixed graph class $\mathcal{F}$, the decision problem HomInd($\mathcal{F}$) asks to determine whether two input graphs $G$ and $H$ are homomorphism indistinguishable over $\mathcal{F}$. The problem HomInd($\mathcal{F}$) is known to be decidable only for few graph classes $\mathcal{F}$. We show that HomInd($\mathcal{F}$) admits a randomised polynomial-time algorithm for every graph class $\mathcal{F}$ of bounded treewidth which is definable in counting monadic second-order logic CMSO2. Thereby, we give the first general algorithm for deciding homomorphism indistinguishability. This result extends to a version of HomInd where the graph class $\mathcal{F}$ is specified by a CMSO2-sentence and a bound $k$ on the treewidth, which are given as input. For fixed $k$, this problem is randomised fixed-parameter tractable. If $k$ is part of the input then it is coNP- and coW[1]-hard. Addressing a problem posed by Berkholz (2012), we show coNP-hardness by establishing that deciding indistinguishability under the $k$-dimensional Weisfeiler--Leman algorithm is coNP-hard when $k$ is part of the input.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：确定同态不可区分性在何种条件下是可判定且可 tractable 的。
• 将已知的可 tractable 案例（如有界树宽和 Weisfeiler–Leman 不可区分性）统一到一个通用的算法框架中。
• 通过证明当 k 作为输入时 Weisfeiler–Leman 不可区分性为 coNP-难，从而解决 Berkholz（2012）提出的问题。
• 在有界树宽和 CMSO2 可定义性条件下，为 HomInd(F) 的可判定性提供必要且充分条件。
• 探索可判定与不可判定同态不可区分性关系之间的边界，特别是在图类的子图封闭类中。

提出的方法

• 该方法依赖于 Courcelle 的图代数，其使用诸如串联和并联组合等带标签运算来表示图。
• 同态张量用于追踪从代数中带标签图到同态数量的记录，当树宽有界时形成有限维表示。
• 通过 CMSO2 可定义图类实现的可识别性，确保代数结构可有效计算和操作。
• 该算法使用随机验证来检查两图 G 和 H 是否对所有 F ∈ F 产生相同的同态计数，利用张量空间的有限维性。
• 通过从团问题的约化，证明当 k 作为输入时 Weisfeiler–Leman 不可区分性为 coNP-难。
• 证明使用中国剩余定理技术，以在有限域上高效验证张量等价性，从而在有界误差下保证正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个通用的算法条件，使得在图类 F 上的同态不可区分性是可判定且可 tractable 的？
• RQ2 同态不可区分性的可 tractability 能否超越有界树宽或 Weisfeiler–Leman 等价等特定情况？
• RQ3 当参数 k（例如，k 维 Weisfeiler–Leman）作为输入时，判定同态不可区分性的精确复杂度是什么？
• RQ4 有界树宽是否为 HomInd(F) 可判定的必要条件，特别是在子图封闭图类中？
• RQ5 有限维同态张量与图代数之间的联系能否用于刻画 HomInd(F) 的可判定性边界？

主要发现

• 对于所有 k-可识别且树宽不超过 k−1 的图类 F，HomInd(F) 属于 coRP，这提供了同态不可区分性首个通用的随机化多项式时间算法。
• 该结果适用于所有在 CMSO2 中可定义且有界树宽的图类，包括有界度数的树、k-外平面图和有界分支宽图。
• 当 k 作为输入时，问题仍为 coNP-难，即使对于 k 维 Weisfeiler–Leman 不可区分性问题亦然。
• 该证明表明，当标签数量（或树宽）有界时，有限维同态张量足以捕捉不可区分性，形式化了先前工作中的一种直觉。
• 当 k 固定时，参数化版本的 HomInd（输入为 (G, H, ϕ, k)）是固定参数可 tractable 的，但当 k 作为输入时，其变为 coW[1]-难。
• 本文通过正面回答 [37] 中的开放问题，证明在有界树宽条件下，Lasserre 层次相关图类上的同态不可区分性是可判定的。