[论文解读] An Algorithmic Theory of Integer Programming

Friedrich Eisenbrand, Christoph Hunkenschröder+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 54被引用 34

一句话总结

本文提出一种求解一般整数规划的问题框架，其变量数 n 为输入依赖，通过矩阵系数 a 和通过树深度表示的稀疏度进行参数化，在若干结构化 IP 类中实现了固定参数可处理性和近线性时间结果。

ABSTRACT

We study the general integer programming problem where the number of variables $n$ is a variable part of the input. We consider two natural parameters of the constraint matrix $A$: its numeric measure $a$ and its sparsity measure $d$. We show that integer programming can be solved in time $g(a,d) extrm{poly}(n,L)$, where $g$ is some computable function of the parameters $a$ and $d$, and $L$ is the binary encoding length of the input. In particular, integer programming is fixed-parameter tractable parameterized by $a$ and $d$, and is solvable in polynomial time for every fixed $a$ and $d$. Our results also extend to nonlinear separable convex objective functions. Moreover, for linear objectives, we derive a strongly-polynomial algorithm, that is, with running time $g(a,d) extrm{poly}(n)$, independent of the rest of the input data. We obtain these results by developing an algorithmic framework based on the idea of iterative augmentation: starting from an initial feasible solution, we show how to quickly find augmenting steps which rapidly converge to an optimum. A central notion in this framework is the Graver basis of the matrix $A$, which constitutes a set of fundamental augmenting steps. The iterative augmentation idea is then enhanced via the use of other techniques such as new and improved bounds on the Graver basis, rapid solution of integer programs with bounded variables, proximity theorems and a new proximity-scaling algorithm, the notion of a reduced objective function, and others. As a consequence of our work, we advance the state of the art of solving block-structured integer programs. In particular, we develop near-linear time algorithms for $n$-fold, tree-fold, and $2$-stage stochastic integer programs. We also discuss some of the many applications of these classes.

研究动机与目标

• 动机并研究变量数量 n 为输入相关的一般整数规划。
• 使用系数大小和 treedepth 定义约束矩阵 A 的数值（a）和稀疏性（d）度量。
• 开发以 Graver 基为核心的迭代增强框架以高效求解 IP。
• 将该框架扩展到非线性可分离凸目标，并为某些类获得强多项式时间结果。
• 建立复杂性/困难性结果和下界，以界定所提出方法的边界。

提出的方法

• 从可行解出发，引入一个迭代增强算法。
• 将 A 的 Graver 基作为基本增广步集合。
• 开发邻近性、松弛和增广预言机以引导增广步。
• 应用 Frank–Tardos 风格的目标等价性以获得有界系数表示。
• 给出 N-fold、tree-fold 和 2-stage stochastic IP 的近线性固定参数算法。
• 在 ETH 下给出下界并与现有的困难性结果进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 a 和 d 分别由系数大小和 treedepth 表示且较小时，包含 n 的一般 IP 是否能高效求解？
• RQ2 原始/对偶 treedepth 对 IP 的可处理性与运行时间有何影响？
• RQ3 能否将该框架扩展到可分离凸目标和非线性情形？
• RQ4 在 ETH 下，该方法的困难性和下界的极限有哪些？
• RQ5 结果如何适用于结构化 IP 类别，如 n-fold、tree-fold 和随机程序？

主要发现

• IP 可以在时间 g(a,d) poly(n,L) 内求解，其中 g 为可计算函数，当 a 和 d 较小时，使 IP 具有固定参数可处理性。
• 存在一个强多项式算法用于 ILP，运行时间 g(a,d) poly(n)，且与输入其它部分无关。
• 近似-比例缩放方法将 IP 的问题规模化为对数数量的放松实例，且界限为多项式。
• 对 N-fold、tree-fold 和 2-stage stochastic IP 获得近线性的固定参数可处理算法。
• 本文在 tdP(A) 或 tdD(A) 下给出双指数下界在 ETH 假设下，说明固有的局限性。
• 该框架扩展到可分离凸目标，并为若干结构化 IP 类提供更快的算法。