[论文解读] An all-at-once preconditioner for evolutionary partial differential equations

Xue-lei Lin, Michael K. Ng|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种块ε-循环（BEC）预条件子，作为从演化型PDE的全时间步线性系统中推广的块循环（BC）预条件子。通过在右上角块中引入一个小参数ε，BEC预条件子保持了可对角化性与单位矩阵加低秩结构，确保在ε较小时特征值聚集于1，并使GMRES方法的收敛速率与空间和时间离散化大小无关，同时保持与原始BC预条件子相同的计算复杂度。

ABSTRACT

In [McDonald, Pestana and Wathen, extit{SIAM J. Sci. Comput.}, 40 (2018), pp. A1012--A1033], a block circulant preconditioner is proposed for all-at-once linear systems arising from evolutionary partial differential equations, in which the preconditioned matrix is proven to be diagonalizable and to have identity-plus-low-rank decomposition in the case of the heat equation. In this paper, we generalize the block circulant preconditioner by introducing a small parameter $ε>0$ into the top-right block of the block circulant preconditioner. The implementation of the generalized preconditioner requires the same computational complexity as that of the block circulant one.Theoretically, we prove that (i) the generalization preserves the diagonalizability and the identity-plus-low-rank decomposition; (ii) all eigenvalues of the new preconditioned matrix are clustered at 1 for sufficiently small $ε$; (iii) GMRES method for the preconditioned system has a linear convergence rate independent of size of the linear system when $ε$ is taken to be smaller than or comparable to square root of time-step size. Numerical results are reported to confirm the efficiency of the proposed preconditioner and to show that the generalization improves the performance of block circulant preconditioner.

研究动机与目标

• 解决时间隐式离散化演化型PDE所产生的全时间步线性系统中Krylov子空间方法收敛缓慢的问题。
• 克服现有块循环（BC）预条件子的局限性，特别是其收敛性与空间离散化无关的证明缺失问题。
• 开发一种广义预条件子，保持有利的谱性质，同时提升鲁棒性与收敛行为。
• 确保新预条件子保持计算效率，其复杂度与原始BC预条件子相当。
• 在热方程与对流-扩散方程的数值实验中，证明其性能优于BC预条件子。

提出的方法

• 通过在标准块循环预条件子的右上角块中引入一个小参数ε > 0，提出块ε-循环（BEC）预条件子。
• 利用快速傅里叶变换（FFT）实现BEC预条件子的可对角化性，从而在傅里叶域中实现高效的矩阵-向量乘法。
• 对于拉普拉斯型空间算子，进一步利用快速正弦变换（FST）对特征块进行对角化，实现精确且快速的求逆。
• 对于一般空间算子，采用迭代求解器（如多重网格）作为内部求解器，高效求逆预条件子。
• 通过在傅里叶域中求解块对角系统来实现BEC预条件子的逆，保持O(N log N)的计算成本。
• 对预条件系统应用重启或非重启的GMRES方法，收敛性分析基于谱聚集性与低秩结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 块循环预条件子能否被推广，以改善演化型PDE全时间步系统中的谱性质与收敛鲁棒性？
• RQ2 在预条件子中引入参数ε是否能保持可对角化性与预条件矩阵的单位矩阵加低秩结构？
• RQ3 当ε足够小时，BEC预条件矩阵的所有特征值是否都聚集于1，从而确保快速收敛？
• RQ4 BEC预条件系统的GMRES收敛速率是否与时间步长和空间步长均无关？
• RQ5 广义预条件子能否以与原始块循环预条件子相同的计算复杂度实现？

主要发现

• BEC预条件子保持了预条件矩阵的可对角化性与单位矩阵加低秩分解，确保了有利的谱性质。
• 当ε足够小时，BEC预条件矩阵的所有特征值均聚集于1，这对快速Krylov子空间收敛至关重要。
• 当ε小于或与时间步长平方根相当时，GMRES-BEC系统表现出与系统规模无关的线性收敛速率。
• 热方程的数值结果表明，BEC预条件子相比BC预条件子显著减少了迭代次数与CPU时间。
• 对于对流主导的对流-扩散方程，GMRES-BEC在所有测试网格尺寸下均表现出比GMRES-BC更低的残差误差与更少的迭代次数。
• BEC预条件子保持了与BC预条件子相同的计算复杂度，总存储量与未知数个数成正比，计算成本与未知数个数的对数成正比。