[论文解读] An Almost Constant Lower Bound of the Isoperimetric Coefficient in the KLS Conjecture

Yuansi Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 21被引用 7

一句话总结

该论文在KLS猜想中建立了几乎恒定的等周系数下界，将先前的维度依赖性从 d^{-1/4} 改进为 d^{-o_d(1)}。通过基于半鞅理论和伊藤微积分的改进随机定位方案，作者推导出一个依赖于维度的下界，该下界渐近趋近于一个通用常数，显著收紧了现有最佳下界，并在相关猜想（如Bourgain的切片猜想和薄壳猜想）中得出改进结果。

ABSTRACT

We prove an almost constant lower bound of the isoperimetric coefficient in the KLS conjecture. The lower bound has the dimension dependency $d^{-o_d(1)}$. When the dimension is large enough, our lower bound is tighter than the previous best bound which has the dimension dependency $d^{-1/4}$. Improving the current best lower bound of the isoperimetric coefficient in the KLS conjecture has many implications, including improvements of the current best bounds in Bourgain's slicing conjecture and in the thin-shell conjecture, better concentration inequalities for Lipschitz functions of log-concave measures and better mixing time bounds for MCMC sampling algorithms on log-concave measures.

研究动机与目标

• 改进KLS猜想中等周系数下界，该下界在高维概率与几何中有广泛影响。
• 解决长期存在的挑战：为对数凹测度的Cheeger等周系数实现几乎恒定的下界。
• 对Eldan以及Lee–Vempala的随机定位方法进行改进，以获得更紧的依赖维度的下界。
• 证明新下界可导致相关猜想（包括Bourgain的切片猜想和薄壳猜想）中得到改进的定量结果。
• 提供一个依赖于维度的下界，该下界渐近趋近于一个通用常数，优于先前的 d^{-1/4} 依赖性。

提出的方法

• 采用基于带时间依赖均值与协方差过程的随机微分方程（SDEs）的改进随机定位方案。
• 使用伊藤公式推导密度、均值、协方差矩阵以及协方差矩阵的迹函数随时间的动态变化。
• 应用涉及协方差矩阵幂与单位矩阵乘积迹的张量矩不等式。
• 引入一个势函数，并应用一种新颖的迹不等式，以控制二次变差与矩项的增长。
• 通过参数 ℓ 平衡维度与对数因子之间的权衡，推导出等周系数的递归下界。
• 通过优化选择 ℓ = ⌈(log d / log log d)^{1/2}⌉，实现最优渐近维度依赖性 d^{-o_d(1)}。

实验结果

研究问题

• RQ1 KLS猜想中等周系数下界的维度依赖性能否超越 d^{-1/4}？
• RQ2 在高维中，各向同性对数凹测度的Cheeger等周系数的最紧下界是什么？
• RQ3 改进随机定位方法如何影响等周系数的下界结果？
• RQ4 改进KLS下界在多大程度上能提升相关猜想（如Bourgain的切片猜想和薄壳猜想）中的界？
• RQ5 通过最优参数调节，随机定位框架能否扩展以实现几乎恒定的下界？

主要发现

• 论文建立了如下形式的下界：ψ(p) ≥ 1 / [c·ℓ(log d + 1)]^{ℓ/2} d^{16/ℓ} √ρ(p)，该结果优于先前具有 d^{-1/4} 依赖性的最佳下界。
• 通过选择 ℓ = ⌈(log d / log log d)^{1/2}⌉，下界变为 ψ(p) ≥ 1 / d^{c′ (log log d / log d)^{1/2}} √ρ(p)，其渐近性能优于任何 d^{-c''} 形式的下界。
• 当 d → ∞ 时，该下界趋近于一个通用常数，因为 (log log d / log d)^{1/2} → 0，因此在维度上近乎恒定。
• 该结果意味着薄壳常数和切片常数的上界得到改进，这两者先前均具有 d^{1/4} 的依赖性。
• 分析证实，可通过高阶矩不等式与迹恒等式系统性地改进随机定位方法。
• 证明依赖于对称矩阵的新迹不等式，以及对描述定位过程的SDEs精确应用伊藤公式。