[论文解读] An Almost Quadratic Lower Bound for Syntactically Multilinear Arithmetic Circuits

Mrinal Kumar, Ben Lee Volk|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 2

一句话总结

该论文为显式多重线性多项式建立了几乎二次的下界 $Ω(n^2/\log^2 n)$，即在语法多重线性算术电路大小上的下界，优于先前的 $Ω(n^{4/3}/\log^2 n)$ 下界。该结果通过将极值集合论中的 Galvin 问题推广到更广范围，从而在特定参数范围内获得了渐近最优的界。

ABSTRACT

We prove a lower bound of $\Omega(n^2/\log^2 n)$ on the size of any syntactically multilinear arithmetic circuit computing some explicit multilinear polynomial $f(x_1, \ldots, x_n)$. Our approach expands and improves upon a result of Raz, Shpilka and Yehudayoff [RSY08], who proved a lower bound of $\Omega(n^{4/3}/\log^2 n)$ for the same polynomial. Our improvement follows from an asymptotically optimal lower bound, in a certain range of parameters, for a generalized version of Galvin's problem in extremal set theory.

研究动机与目标

• 为语法多重线性算术电路建立更强的下界，这些电路在理解多重线性多项式计算复杂性方面具有核心作用。
• 在显式多重线性多项式上，改进 Raz、Shpilka 和 Yehudayoff 提出的先前 $Ω(n^{4/3}/\log^2 n)$ 下界。
• 将极值集合论中的 Galvin 问题推广到更广的参数范围，从而在电路复杂性中获得更紧的界。

提出的方法

• 将极值集合论中的 Galvin 问题推广到更广泛的集合系统类别，以推导新的组合界。
• 将推广后的极值集合论结果应用于分析语法多重线性电路的结构。
• 利用推导出的组合界，建立此类电路中所需门数的下界。
• 通过集合系统与电路层之间的对偶性，将极值集合论的约束转化为电路复杂性的约束。
• 利用在特定参数范围内推广后的界具有渐近最优性，从而实现接近二次的下界。
• 在 Raz、Shpilka 和 Yehudayoff 的框架基础上，通过更强的组合工具进行改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 语法多重线性电路的下界能否超越 Raz、Shpilka 和 Yehudayoff 提出的 $Ω(n^{4/3}/\log^2 n)$ 结果？
• RQ2 在多重线性电路复杂性的背景下，使用极值集合论技术可达到的最紧下界是什么？
• RQ3 如何将极值集合论中的 Galvin 问题推广，以获得适用于算术电路的更强界？
• RQ4 是否存在一个参数范围，使得推广后的极值集合问题能产生可应用于电路复杂性的渐近最优界？
• RQ5 能否在不增加电路语法多重线性约束的前提下实现改进后的下界？

主要发现

• 该论文为计算显式多重线性多项式的任何语法多重线性算术电路的大小建立了 $Ω(n^2/\log^2 n)$ 的下界。
• 该下界优于 Raz、Shpilka 和 Yehudayoff 提出的先前 $Ω(n^{4/3}/\log^2 n)$ 下界。
• 该改进通过将极值集合论中的 Galvin 问题推广到更广的参数范围实现。
• 推广后的极值集合问题在相关参数范围内产生了渐近最优的界，该界随后被应用于电路复杂性分析。
• 结果表明，新下界接近二次，逼近此类电路理论上可能的最大值。
• 该方法为通过连接极值组合学与代数复杂性理论，开辟了证明强下界的新途径。