[论文解读] An alternative proof of a result of Takaoka

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提供了一种替代证明，表明在连续半鞅金融模型中，无无界利润且风险有限（NUPBR）条件等价于存在一个局部鞅折扣因子，且该证明仅基于资产过程的局部特征。该证明通过利用半鞅微积分、有限维凸分析和可测选择，避免了对无自由套利机会（NFLVR）条件的依赖，从而基于局部动态建立了一个完全自洽的NUPBR理论体系。

ABSTRACT

In Karatzas and Kardaras's paper on semimartingale financial models, it is proved that the NUPBR condition is a property of the local characteristic of the asset process alone. In Takaoka's paper on NUPBR, it is proved that the NUPBR condition is equivalent to the existence of a simga-martingale deflator. However, Takaoka's paper founds its proof on Delbaen and Schachermayer's fundamental asset pricing theorem, i.e. the NFLVR condition, which is not a pure property of the local characteristic of the asset process. In this paper we give an alternative proof of the result of Takaoka, which makes use only the properties of the local characteristic of the asset process.

研究动机与目标

• 基于资产过程的局部特征，建立NUPBR条件的自洽表征。
• 解决Takaoka原始证明中的局限性，其依赖于NFLVR条件——这一全局性质无法由局部特征推导得出。
• 在Karatzas与Kardaras框架下，提供NUPBR与局部鞅折扣因子存在性之间等价性的自包含证明。
• 证明：通过仅基于局部特征分析，存在名义资产组合可推出存在局部鞅折扣因子，而无需引入全局鞅测度。

提出的方法

• 证明始于观察：在由最大财富过程 $\mathsf{V}(H^*)$ 引起的名义变换下，变换后的过程 $S / \mathsf{V}(H^*)$ 满足资产定价基本定理第二步的条件。
• 应用Kreps-Yan定理，证明存在一个概率测度 $\mathbb{Q}$，使得对所有 $f \in \mathsf{C}$（由可接受投资组合及其收益构成的集合）有 $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f] \leq 0$。
• 证明利用了当 $S$ 被替换为 $S / \mathsf{V}(\rho^*)$ 时，全局条件 (1) 在原始测度 $\mathbb{P}$ 下已满足，其中 $\rho^*$ 是名义资产组合。
• 利用Delbaen与Schachermayer基本定理的第二步，该步骤仅依赖于半鞅的局部特征，结合有限维凸分析与可测选择技术。
• 证明了局部鞅折扣因子 $\xi = \frac{1}{\mathsf{V}(\rho^*)} \mathcal{E}(M)$ 的构造，使得在 $[0,T]$ 上，$\xi$ 与 $S\xi$ 均为 $\mathbb{P}$-局部鞅。
• 通过验证 $1 + H^\top \cdot S$ 与 $\xi$ 的乘积是 $\sigma$-鞅（从而为局部鞅），由于其正性和可积性，确认 $\xi$ 是一个局部鞅折扣因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 NUPBR条件是否等价于局部鞅折扣因子的存在性，且不依赖于NFLVR条件？
• RQ2 能否仅基于资产过程的局部特征，建立NUPBR与局部鞅折扣因子存在性之间的等价关系？
• RQ3 名义资产组合的存在是否可通过纯粹的局部分析，推出局部鞅折扣因子的存在性？
• RQ4 Takaoka结果的证明能否被重新表述为不依赖于全局NFLVR条件？

主要发现

• NUPBR条件等价于局部鞅折扣因子的存在性，且该等价性可仅基于半鞅资产过程的局部特征予以证明。
• 该证明通过表明Kreps-Yan定理中的全局条件在名义变换至 $\mathsf{V}(\rho^*)$ 后，已在原始测度 $\mathbb{P}$ 下满足，从而避免了对NFLVR条件的依赖。
• 局部鞅折扣因子 $\xi = \frac{1}{\mathsf{V}(\rho^*)} \mathcal{E}(M)$ 被显式构造，且证明了在 $[0,T]$ 上，$\xi$ 与 $S\xi$ 均为 $\mathbb{P}$-局部鞅。
• 该方法仅依赖于半鞅微积分、有限维凸分析与可测选择，与Karatzas与Kardaras（2007）所开启的研究程序保持一致。
• 结果确认NUPBR条件是资产过程的纯粹局部性质，因其仅依赖于局部特征，而不依赖于全局路径性质。