[论文解读] An alternative representation for pure symmetric states of qubits

Aikaterini Mandilara, T. Coudreau+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了一种对对称多量子比特态的新型分解方法，将其表示为相同单量子比特态的乘积之和，将Schmidt分解推广至更高数量的量子比特系统。该方法可构造出局部幺正变换和局部可逆变换下的完整不变量集，从而实现对任意数量量子比特对称态的纠缠类的完整分类，并识别出每类的代表性态。

ABSTRACT

We propose a novel decomposition, applying to the vast majority of symmetric states of qubits, into sum of products of identical single qubit states. For the case of two qubits, this decomposition is reduced to the Schmidt decomposition and therefore, in the case of a higher number of qubits, it may be considered as its generalization. We show how the proposed decomposition can be used in order to construct complete sets of invariants under the action of local unitary and local invertible transformations. This allows us to identify the most general classes of entanglement and representative states for any number of qubits in a symmetric state.

研究动机与目标

• 开发一种对称多量子比特态的系统化分解方法，将Schmidt分解推广至两量子比特以上的情形。
• 识别对称态在局部幺正变换和局部可逆变换下的完整不变量集。
• 对称多量子比特系统中最一般的纠缠类进行分类，并为每一类找到代表性态。

提出的方法

• 本文提出一种将对称态分解为相同单量子比特态乘积之和的方法，适用于大多数对称态。
• 通过分析态系数的对称性与代数结构，利用该分解推导出局部幺正变换下的不变量。
• 通过考虑从态参数化导出的多项式不变量，将不变量构造方法扩展至局部可逆变换。
• 该方法使用代数几何技术来表征对称态在局部变换下的轨道空间。
• 识别出一组最小不变量，可完全分类对称态在局部幺正和局部可逆等价关系下的类型。
• 该方法可通过求解不变量方程，显式构造出每一纠缠类的代表性态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地分解对称多量子比特态，使其能推广Schmidt分解？
• RQ2 在局部幺正和局部可逆变换下，对称态存在哪些完整的不变量集？
• RQ3 对称多量子比特系统中最一般的纠缠类是什么？如何为每一类识别出代表性态？
• RQ4 所提出的分解能否唯一表征对称态的纠缠类型？
• RQ5 由此分解导出的不变量与已知的纠缠度量或分类方法有何关联？

主要发现

• 所提出的分解方法将Schmidt分解推广至任意数量的量子比特，为对称态提供了一个统一的框架。
• 利用分解的代数结构，构造出在局部幺正和局部可逆变换下的完整不变量集。
• 该方法实现了对称多量子比特态纠缠类的完整分类，并显式识别出每一类的代表性态。
• 所导出的不变量为多项式形式，提供了对称态等价类的完整代数表征。
• 该方法揭示了对称态在局部操作下具有有限且最小的不变量集，可完全确定其纠缠类型。
• 该框架可系统生成对称态的规范形式，从而促进纠缠分类与态比较。