[论文解读] An analogue of Eulerian polynomials related to L-type function

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文通过在 p-adic 整数上使用 p-adic 费米子 q-积分，引入了狄利克雷型的扭曲欧拉多项式，推导了其生成函数与魏特定理型公式，并通过梅林变换定义了一个扭曲的欧拉 L-函数。关键结果是该 L-函数在负整数处插值了扭曲的欧拉多项式，通过围道积分与留数微积分建立了函数方程。

ABSTRACT

In the present paper, we effect Dirichlet's type of twisted Eulerian polynomials by using p-adic fermionic q-integral on the p-adic integer ring. Also, we introduce some new interesting identities for them. As a result of them, by using contour integral on the generating function of Dirichlet's type of twisted Eulerian polynomials and so we define twisted Eulerian-L-function which interpolates of Dirichlet's type of Eulerian polynomials at negative integers which we state in this paper.

研究动机与目标

• 通过在 Zp 上使用 p-adic 费米子 q-积分，定义并研究狄利克雷型的扭曲欧拉多项式。
• 推导这些多项式的生成函数与魏特定理型公式。
• 通过生成函数的梅林变换构造一个扭曲的欧拉 L-函数。
• 通过 L-函数在负整数处插值扭曲的欧拉多项式。
• 探索 p-adic 分析、特殊函数与数论中 L-函数之间的联系。

提出的方法

• 利用 Zp 上的 p-adic 费米子 q-积分，通过生成函数定义扭曲的欧拉多项式。
• 应用积分方程 (5) 与平移性质，推导出多项式的魏特定理公式 (12)。
• 使用围道积分与柯西留数定理，将生成函数与 L-函数关联起来。
• 对生成函数进行梅林变换，定义扭曲的欧拉 L-函数 LE,ζ(s, χ)。
• 通过解析延拓与留数微积分，推导出函数方程 LE,ζ(−n, χ) = (−1)^n An,χ,ζ(−q)。
• 应用泰勒展开与级数运算，将生成函数表示为指数函数与幂级数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 p-adic 费米子 q-积分定义狄利克雷型的扭曲欧拉多项式？
• RQ2 这些扭曲多项式的生成函数与魏特定理型公式是什么？
• RQ3 如何从生成函数构造一个扭曲的欧拉 L-函数？
• RQ4 L-函数以何种方式在负整数处插值扭曲的欧拉多项式？
• RQ5 L-函数与多项式在负整数处的函数关系是什么？

主要发现

• 狄利克雷型扭曲欧拉多项式的生成函数为 Gq,ζ(t | χ) = [2]q ∑_{l=0}^{d−1} (−1)^l q^{d−l+1} ζ^l χ(l) / (ζ^d e^{−d(1+q)t} + q^d)。
• 魏特定理公式 I_{−q^{−1}}(ζ^x χ(x) x^n) = (−1)^n / (1+q)^n ⋅ A_{n,χ,ζ}(−q) 对所有 n ∈ ℕ∗ 成立。
• 扭曲的欧拉 L-函数定义为 LE,ζ(s, χ) = q / (1+q)^{s−1} ∑_{m=1}^∞ (−1)^m χ(m) ζ^m / (q^m m^s)。
• L-函数满足插值性质 LE,ζ(−n, χ) = (−1)^n A_{n,χ,ζ}(−q)，对所有 n ∈ ℕ 成立。
• 导出了一个乘法公式：(−1)^n / (1+q)^n A_{n,χ,ζ}(−q) = d^n / [d]_{−q^{−1}} ∑_{a=0}^{d−1} (−1)^a χ(a) ζ^a q^{−a} ∫_{Z_p} (a/d + x)^n dμ_{−q^{−1}}(x)。
• 在 q → 1 的极限下，得到关系式 An,χ,ζ(−1) = (−2d)^n ∑_{a=0}^{d−1} (−1)^a χ(a) ζ^a E_{n,ζ^d}(a/d)，将其与广义欧拉数联系起来。