[论文解读] An Analogue of Heyde's Theorem for Discrete Torsion Abelian Groups with Cyclic $p$-Components

Gennadiy Feldman|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2026

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一句话总结

本文证明了在离散扭转Abelian群且具有循环p分量的独立X值随机变量之间的Heyde型刻画，不对线性形式系数或分布作限制。

ABSTRACT

According to the well-known Heyde theorem, the Gaussian distribution on the real line is characterized by the symmetry of the conditional distribution of one linear form of $n$ independent random variables given another. In the article, we prove an analogue of this theorem for two independent random variables taking values in a discrete torsion Abelian group $X$ with cyclic $p$-components. In doing so, we do not impose any restrictions on coefficients of the linear forms and the characteristic functions of random variables. The proof uses methods of abstract harmonic analysis and is based on the solution some functional equation on the character group of the group $X$.

研究动机与目标

• 在离散扭转Abelian群的设定下激发刻画定理的研究，并将Heyde定理扩展到实值变量之外。
• 为在X上具有循环p分量的两个独立X值随机变量建立Heyde定理的类似结论。
• 证明给定一个线性形式的条件分布对称性可迫使分布具有特定的结构形式。
• 描述X及其自同构的结构如何约束可能的分布。
• 将谐分析方法与此群设定下的概率刻画问题联系起来。

提出的方法

• 在X的特征群Y上形式化Heyde型的泛函方程。
• 利用抽象谐分析的引理来推导分布的支撑和分解性质。
• 展示条件对称性等价于两个分布相等并推导包含支撑的最小子群G。
• 证明(I+α)(G)是有限的，且在(I+α)(G)上的Haar分布是公共分布的一个因子。
• 将结果推广到实部直积设定X=R×K。
• 利用推论来描述当Ker(I+α)=0或分布不消失时的特殊情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 条件分布L2在给定L1时的对称性是否迫使输入分布在具有循环p分量的离散扭转Abelian群上成为共同分布的平移？
• RQ2 在Heyde型条件下支配共同分布结构的最小子群是什么？
• RQ3 自同构α如何约束有限结构(I+α)(G)及其相应的Haar因子？
• RQ4 结果是否可推广至直接积X=R×K，且在该设定下出现的高斯分量有哪些？
• RQ5 当Ker(I+α)为平凡或特征函数不消失时可以得出哪些推论？

主要发现

• 条件对称性意味着μ1与μ2一致且为共同分布μ的平移。
• 存在支撑μ的最小子群G，且(I+α)(G)为有限，m_(I+αG)是μ的一个因子。
• 若ηj独立同分布于λ，给定M1=η1+η2时，条件对称性对M2=η1+αη2依然成立。
• 在具有循环p分量的离散扭转设定中，α使I−α成为X的自同构，从而得到(I+α)(X)结构的有限性。
• 结果可推广至X=R×K，其中出现高斯分量，并将一个ω支撑于子群G的部分与高斯分量结合起来。