[论文解读] An analogue of Hilbert's Theorem 90 for infinite symmetric groups

Rovinsky Marat|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于无限对称群 $G = \operatorname{Sym}(S)$ 作用在由无限集 $S$ 自由生成的域 $k(S)$ 上，当 $K \subset k(S)$ 为 $G$-不变子域时，域 $k(S)$ 是光滑 $K$-半线性 $G$-表示范畴中的内射余生成元。关键结果包括：有限生成光滑表示的诺特性、通过一维表示的张量幂构造内射余生成元，以及按有限长度对不可约表示进行完全分类。

ABSTRACT

Let $K$ be a field and $G$ be a group of its automorphisms. If $G$ is precompact then $K$ is a generator of the category of smooth (i.e. with open stabilizers) $K$-semilinear representations of $G$. There are non-semisimple smooth semilinear representations of $G$ over $K$ if $G$ is not precompact. In this note the smooth semilinear representations of the group $G$ of all permutations of an infinite set $S$ are studied. Let $k$ be a field and $k(S)$ be the field freely generated over $k$ by the set $S$ (endowed with the natural $G$-action). One of principal results describes the Gabriel spectrum of the category of smooth $k(S)$-semilinear representations of $G$. It is also shown, in particular, that (i) for any smooth $G$-field $K$ any smooth finitely generated $K$-semilinear representation of $G$ is noetherian, (ii) for any $G$-invariant subfield $K$ in the field $k(S)$, the object $k(S)$ is an injective cogenerator of the category of smooth $K$-semilinear representations of $G$, (iii) if $K\subset k(S)$ is the subfield of rational homogeneous functions of degree 0 then there is a one-dimensional $K$-semilinear representation of $G$, whose integral tensor powers form a system of injective cogenerators of the category of smooth $K$-semilinear representations of $G$, (iv) if $K\subset k(S)$ is the subfield generated over $k$ by $x-y$ for all $x,y\in S$ then there is a unique isomorphism class of indecomposable smooth $K$-semilinear representations of $G$ of each given finite length.

研究动机与目标

• 理解无限对称群 $G = \operatorname{Sym}(S)$ 在域上作用的光滑半线性表示的结构。
• 确定此类表示为诺特性或半单性的条件，特别是与群作用的预紧性相关时。
• 描述光滑 $k(S)$-半线性 $G$-表示范畴的加布里埃尔谱。
• 识别内射余生成元，并根据 $k(S)$ 的子域结构对不可约表示进行分类。
• 通过表示论与域论方法，将希尔伯特定理90的类比推广至无限对称群。

提出的方法

• 分析 $G = \operatorname{Sym}(S)$ 在域 $k(S)$ 上的作用，即以 $k$ 为系数、在 $S$ 上的有理函数域，赋予自然的 $G$-作用。
• 应用范畴论工具，特别是加布里埃尔谱的概念，对 $G$-不变子域 $K \subset k(S)$ 的光滑 $K$-半线性 $G$-表示范畴进行分类。
• 利用 $k(S)$ 作为 $G$-域的结构，证明对于任意 $G$-不变子域 $K \subset k(S)$，其为光滑 $K$-半线性表示范畴中的内射余生成元。
• 通过 $k(S)$ 中零次有理函数子域构造一维 $K$-半线性表示，并证明其张量幂构成内射余生成元系统。
• 研究由 $x - y$（$x, y \in S$）生成的子域 $K \subset k(S)$，并证明对每个有限长度，存在唯一一个同构类的不可约光滑 $K$-半线性表示。
• 利用具有开稳定子的光滑表示理论，并利用群作用的预紧性条件，推导出半单性与诺特性的结构性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，光滑 $K$-半线性表示 $G = \operatorname{Sym}(S)$ 是诺特的？
• RQ2 当 $K \subset k(S)$ 为 $G$-不变子域时，域 $k(S)$ 是否为光滑 $K$-半线性 $G$-表示范畴中的内射余生成元？
• RQ3 能否在光滑 $K$-半线性 $G$-表示范畴中，通过一维表示的张量幂构造内射余生成元系统？
• RQ4 当 $K$ 是 $k(S)$ 中零次有理齐次函数的子域时，光滑 $K$-半线性表示的不可约表示如何分类？
• RQ5 光滑 $K$-半线性 $G$-表示范畴的结构如何依赖于 $G$-不变子域 $K \subset k(S)$ 的选择？

主要发现

• 对于任意光滑 $G$-域 $K$，其任意光滑有限生成 $K$-半线性表示 $G$ 均为诺特的。
• 对于任意 $G$-不变子域 $K \subset k(S)$，域 $k(S)$ 是 $G$ 的光滑 $K$-半线性表示范畴中的内射余生成元。
• 当 $K$ 是 $k(S)$ 中零次有理齐次函数的子域时，一维 $K$-半线性表示的整数张量幂构成内射余生成元系统。
• 当 $K$ 是由 $k$ 生成且包含所有 $x - y$（$x, y \in S$）的子域时，对每个有限长度，$G$ 的光滑 $K$-半线性表示中恰好存在一个同构类的不可约表示。
• 光滑 $k(S)$-半线性 $G$-表示范畴具有明确定义的加布里埃尔谱，其完全由 $k(S)$ 作为 $G$-域的结构所描述。
• 光滑 $K$-半线性表示中缺乏半单性的原因在于群作用的非预紧性，这推广了希尔伯特定理90中的一个判别准则。