[论文解读] An analogue of Ryser's Theorem for partial Sudoku squares

Peter J‎. Cameron, A. J. W. Hilton+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了完成部分数独方格的充要条件，类似于拉丁方格的Ryser定理。它提出了部分数独方格的Hall条件，并证明当且仅当由行和列约束导出的特定二分图存在完美匹配时，此类完成是可能的，且当 $p \mid r$ 且 $q \mid s$ 时，存在一个多项式时间算法用于验证。

ABSTRACT

In 1956 Ryser gave a necessary and sufficient condition for a partial latin rectangle to be completable to a latin square. In 1990 Hilton and Johnson showed that Ryser's condition could be reformulated in terms of Hall's Condition for partial latin squares. Thus Ryser's Theorem can be interpreted as saying that any partial latin rectangle $R$ can be completed if and only if $R$ satisfies Hall's Condition for partial latin squares. We define Hall's Condition for partial Sudoku squares and show that Hall's Condition for partial Sudoku squares gives a criterion for the completion of partial Sudoku rectangles that is both necessary and sufficient. In the particular case where $n=pq$, $p|r$, $q|s$, the result is especially simple, as we show that any $r imes s$ partial $(p,q)$-Sudoku rectangle can be completed (no further condition being necessary).

研究动机与目标

• 将原本适用于拉丁方格的Ryser定理扩展至部分数独方格的情境。
• 定义一种类似于部分拉丁方格中Hall条件的组合条件，现适用于数独约束。
• 为任意 $r \times s$ 部分数独 $(p,q)$-矩形扩展为完整 $n \times n$ $(p,q)$-数独方格建立充要条件。
• 分析在新条件下完成问题的计算复杂度，特别是当 $p \mid r$ 且 $q \mid s$ 时的情况。

提出的方法

• 基于部分 $(p,q)$-数独矩形中行和列缺失符号的性质，定义二分图 $S_\alpha$ 和 $B_\beta$。
• 通过根据不完整区块的大小复制行和列顶点，保持与符号顶点的邻接关系，构建 $S_\alpha$ 和 $B_\beta$。
• 将完成条件表述为每个 $S_\alpha$ 和 $B_\beta$ 图中存在完美匹配。
• 利用二分图上的Hall定理，将匹配存在的条件转化为一组不等式系统。
• 证明当 $p \mid r$ 且 $q \mid s$ 时，无需额外条件——任何此类部分矩形均可完成。
• 利用最大二分匹配可在 $O(n^3)$ 时间内计算的事实，得出完成验证的多项式时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将适用于拉丁方格的Ryser定理推广至部分数独方格？
• RQ2 何种组合条件可确保部分 $(p,q)$-数独矩形被扩展为完整的 $(p,q)$-数独方格？
• RQ3 是否存在一种完成可判定性的刻画，使其等价于二分图中的已知匹配条件？
• RQ4 在Hall条件下的部分数独方格完成问题是否仍为NP完全，还是变为多项式时间可解？
• RQ5 在何种条件下，部分数独矩形可在无额外约束下实现完成？

主要发现

• 完成一个 $r \times s$ 部分数独 $(p,q)$-矩形为完整 $n \times n$ $(p,q)$-数独方格的充要条件，是存在一族二分图 $S_\alpha$ 和 $B_\beta$ 中的完美匹配。
• 当 $p \mid r$ 且 $q \mid s$ 时，任何 $r \times s$ 部分数独 $(p,q)$-矩形均可在无额外约束下完成，如定理2所述。
• 部分数独方格的完成问题可在多项式时间内判定，因为检查 $O(n)$ 个二分图中的完美匹配在每张图上耗时 $O(n^3)$。
• 完成条件等价于部分数独方格的Hall条件，推广了拉丁方格中的Hall型准则。
• 作者证明，在Hall条件下的数独方格完成判定问题属于P类，而一般情况为NP完全。
• 本文未解决仅含填满或空单元格时问题是否仍为NP完全，尽管推测如此。