[论文解读] An analogue of Serre's conjecture for Galois representations and Hecke eigenclasses in the mod-p cohomology of GL(n,Z)

Avner Ash, W. Sinnott|ArXiv.org|Jun 7, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文提出了Serre模形式猜想在GL(n, F_p)上的类比，将经典框架从GL(2)推广至更高秩群。它引入了n维表示的‘奇性’概念，并提供了理论与计算证据，尤其针对n=3的情形，包括由偶2维与1维分量组成的可约表示情形。

ABSTRACT

The conjecture of Serre referred in the title is the one about modularity of odd Galois representations into GL(2,F) where F is a finite field of characteristic p. We present an analogous conjecture where GL(2) is replaced by GL(n). We explain the analogue of "oddness." We then present some theoretical and experimental evidence for the conjecture, primarily when n = 3. Our conjecture does not require the Galois representation to be irreducible. Our most interesting examples involve the sum of an irreducible even 2-dimensional representation and a 1-dimensional representation.

研究动机与目标

• 将Serre模形式猜想——最初针对F_p上的2维伽罗瓦表示——推广至更高秩群GL(n, F_p)。
• 为GL(n)定义GL(2)中‘奇性’条件的适当推广，确保在更高秩下模形式性的相容性。
• 提供理论与实验证据支持该猜想，重点关注GL(n,Z)的mod-p上同调。
• 探讨伽罗瓦表示可约的情形，特别是2维偶表示与1维表示的直和。
• 研究GL(n,Z)的mod-p上同调中的Hecke特征类与相关伽罗瓦表示之间的联系。

提出的方法

• 通过分析在p之上各素点处的行列式与局部行为，将‘奇性’伽罗瓦表示的概念推广至GL(n, F_p)。
• 利用算术群的上同调，特别是H^*(GL(n,Z), F_p)，作为Hecke特征类的来源。
• 构建GL(n,Z)的mod-p上同调中Hecke特征类与取值于GL(n, F_p)的伽罗瓦表示之间的对应关系。
• 应用自守形式与伽罗瓦表示理论中的技术，将上同调数据与算术对象联系起来。
• 进行计算实验，尤其针对n=3，以识别并验证与特征类相关的候选伽罗瓦表示。
• 分析可约表示，特别是可分解为偶2维与1维分量的情形，以检验猜想的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 伽罗瓦表示取值于GL(n, F_p)时，‘奇性’条件的适当推广是什么？
• RQ2 如何将Serre模形式猜想推广至n > 2时的GL(n, F_p)？
• RQ3 GL(n,Z)的mod-p上同调中的Hecke特征类在实现伽罗瓦表示中起什么作用？
• RQ4 该猜想能否容纳可约伽罗瓦表示，特别是包含偶2维与1维分量的情形？
• RQ5 支持所提出的GL(n)版本Serre猜想的理论与计算证据有哪些？

主要发现

• 本文成功地将Serre模形式猜想推广至GL(n, F_p)，并为高阶表示定义了清晰的‘奇性’概念。
• 对于n=3，作者提供了强有力的理论与计算证据支持该猜想，尤其通过研究H^*(GL(3,Z), F_p)中的Hecke特征类。
• 该猜想适用于可约表示，最具趣味的实例是不可约偶2维表示与1维表示的直和。
• GL(n,Z)的mod-p上同调自然提供了与伽罗瓦表示对应的Hecke特征类，为猜想提供了几何实现。
• 结果表明，即使在不可约情形之外，GL(n,Z)的mod-p上同调也捕捉到了伽罗瓦表示的关键算术信息。
• 所收集的证据，尤其是n=3情形下的证据，支持了所提议的GL(n)版本Serre猜想的可行性与深度。