[论文解读] An analogue of the Cartan decomposition for p-adic reductive symmetric spaces

Patrick Delorme, Vincent Sécherre|ArXiv.org|Dec 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文为非阿赋得局部域 $k$ 上奇剩余特征的半单群 $\mathrm{G}$ 及其在对合 $\sigma$ 下的固定点子群 $\mathrm{H}$ 所确定的 $p$-进半单对称空间 $\mathrm{H}_k\backslash\mathrm{G}_k$ 建立了 Cartan 分解的类比。该分解由 $\mathrm{H}_k$-共轭类的极大 $\sigma$-反对称 $k$-分裂环面参数化，当 $\mathrm{G}$ 为 $k$-分裂时，进一步利用 $\mathrm{G}$ 的 Bruhat-Tits 建筑中特殊点的稳定化子得到细化版本。

ABSTRACT

Let F be a non Archimedean locally compact field of residue characteristic different from 2, let G be a connected reductive group defined over F, let s be an involutive F-automorphism of G and H an open F-subgroup of the fixed points group of s. We denote by G(F) (resp. H(F)) the group of F-points of G (resp. H). In this paper, we obtain an analogue of the Cartan decomposition for the reductive symmetric space G(F)/H(F). More precisely, we obtain a decomposition of G(F) as a union of H(F)-cosets which is related to the H(F)-conjugacy classes of maximal s-anti-invariant F-split tori in G. When G is F-split, we get a more precise result, involving the stabilizer of a special point of the Bruhat-Tits building of G over F.

研究动机与目标

• 将经典 Cartan 分解推广至 $p$-进半单对称空间 $\mathrm{H}_k\backslash\mathrm{G}_k$ 的情形。
• 提供 $\mathrm{G}_k$ 关于 $\mathrm{H}_k$-陪集的几何分解，该分解反映 $\sigma$-反对称环面的结构。
• 在 $k$-分裂情形下，利用 $\mathrm{G}$ 的 Bruhat-Tits 建筑中特殊点的稳定化子，对分解进行细化。
• 将分解与 $\mathrm{H}_k$-共轭类的 $\sigma$-抛物子群及极大 $\sigma$-反对称环面对应的 Weyl 群联系起来。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{G}$ 中极大 $\sigma$-反对称 $k$-分裂环面的 $\mathrm{H}_k$-共轭类对分解进行参数化。
• 对每个代表环面 $\mathrm{A}^j$，使用 Weyl 群 $\mathrm{W}_{\mathrm{G}_k}(\mathrm{A}^j)$ 及其 $\mathrm{H}_k$-子群 $\mathrm{W}_{\mathrm{H}_k}(\mathrm{A}^j)$。
• 为双陪集 $\mathrm{W}_{\mathrm{H}_k}(\mathrm{A}^j)\backslash\mathrm{W}_{\mathrm{G}_k}(\mathrm{A}^j)$ 构造代表元 $\mathscr{N}_j$。
• 利用 Bruhat-Tits 建筑的结构及 $\mathrm{G}_k$ 在特殊点上的作用，在 $k$-分裂情形下对分解进行细化。
• 运用上同调技术分析 $\mathrm{H}^1(\mathrm{N}_k)$，并将其与非分裂情形下的双陪集联系起来。
• 在 $\mathrm{GL}_n$ 情形中，通过显式矩阵构造（如 $u_i$）实现上循环，并验证上同调平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 Cartan 分解如何推广至 $p$-进半单对称空间？
• RQ2 $\mathrm{H}_k$-共轭类的极大 $\sigma$-反对称 $k$-分裂环面在参数化 $\mathrm{G}_k$ 分解中起什么作用？
• RQ3 当 $\mathrm{G}$ 为 $k$-分裂时，能否利用 Bruhat-Tits 建筑中的特殊点稳定化子使分解更精确？
• RQ4 $\mathrm{G}_k$ 的双陪集结构与抛物子群上同调之间存在何种关系？
• RQ5 在非分裂情形下，该分解是否失效？若失效，其几何条件为何？

主要发现

• 群 $\mathrm{G}_k$ 允许一个有限个 $\mathrm{H}_k$-陪集的并分解，其指标为 $\mathrm{G}$ 中极大 $\sigma$-反对称 $k$-分裂环面的 $\mathrm{H}_k$-共轭类。
• 对每个此类环面 $\mathrm{A}^j$，双陪集空间 $\mathrm{W}_{\mathrm{H}_k}(\mathrm{A}^j)\backslash\mathrm{W}_{\mathrm{G}_k}(\mathrm{A}^j)$ 参数化了分解中 $\mathrm{H}_k$-轨道。
• 当 $\mathrm{G}$ 为 $k$-分裂时，利用 $\mathrm{G}$ 的 Bruhat-Tits 建筑中特殊点的稳定化子对分解进行细化。
• 在 $\mathrm{GL}_n$ 情形下，当基域为二次扩张时，分解形式为 $\mathrm{G}_k = \bigcup_{i=0}^{[n/2]} \mathrm{H}_k u_i \mathrm{Z}_k \mathrm{K}$，其中 $u_i$ 实现了 $\sigma$-上循环 $\tau_i$。
• $\mathrm{H}^1(\mathrm{N}_k)$ 分类了 $({\rm H}_k,\mathrm{N}_k)$-双陪集，且所有上循环都与平凡上循环上同调，从而确认了分解结构。
• 反例表明，当特殊点不为 $\sigma$-不变时，分解在非分裂情形下会失效，例如 $\mathrm{G} = \mathrm{Res}_{k'/k}\mathrm{GL}_2$ 且 $k'$ 对 $k$ 完全分歧的情形。