[论文解读] An analogue of the plactic monoid for binary search trees

Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文在带标签的二叉搜索树上引入了一种类普拉克（plactic）的幺半群结构，类似于经典普拉克幺半群对杨表（Young tableaux）的构造。通过定义一种类似罗宾森-施伦贝格（Robinson-Schensted）的对应关系，基于二叉搜索树的插入操作，作者建立了对平面二叉树的洛代-罗诺代数（Loday-Ronco algebra）的新实现，表明一个树的西尔维斯特类（sylvester class）对应于具有固定树形的一组排列，并通过主要指标（major index）推导出树计数公式的q-模拟。

ABSTRACT

We introduce a monoid structure on a certain set of labelled binary trees, by a process similar to the construction of the plactic monoid. This leads to a new interpretation of the algebra of planar binary trees of Loday-Ronco.

研究动机与目标

• 将经典普拉克幺半群从杨表推广到二叉搜索树。
• 通过非交换多项式，为平面二叉树的洛代-罗诺代数提供一种新的代数实现。
• 建立排列与二叉搜索树之间的组合对应关系，类似于罗宾森-施伦贝格对应关系。
• 通过西尔维斯特类中排列的主要指标，推导出二叉搜索树数量的q-模拟。
• 刻画洛代-罗诺代数的对偶，作为自由拟对称函数代数的商代数。

提出的方法

• 通过识别在标准插入下产生相同二叉搜索树的排列，定义排列上的西尔维斯特等价关系。
• 通过单词的逆标准形，将单词映射到二叉搜索树，形成树的形状与内容。
• 将多项式基 $\mathbf{P}_T$ 定义为所有插入后产生树 $T$ 的单词之和，构成洛代-罗诺代数的乘法基。
• 使用类似罗宾森-施伦贝格的插入算法，从单词 $w$ 计算树 $\mathcal{P}(w)$，其中插入过程通过与根节点比较，并递归地放置于左子树或右子树。
• 通过投影 $\pi: \mathbb{C}\langle A\rangle \to \mathbb{C}[\mathrm{Sylv}(A)]$，在平面二叉树代数及其对偶之间建立对偶性，识别对偶基 $\mathbf{Q}_T = \pi(\mathbf{G}_{w_T})$。
• 通过在固定树形 $T$ 的所有排列 $\sigma$ 上对 $q^{\mathrm{maj}(\sigma)}$ 求和，推导出树数的q-模拟，得到 $\sum_{\mathcal{P}(\sigma)=T} q^{\mathrm{maj}(\sigma)} = \frac{[n]_q!}{\prod_{\circ \in T} q^{\delta_\circ} [h_\circ]_q}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二叉搜索树定义一种类普拉克幺半群结构，类似于经典普拉克幺半群对杨表的构造？
• RQ2 排列上的西尔维斯特等价关系与二叉搜索树的结构有何关联？
• RQ3 给定形状的二叉搜索树数量的q-模拟是什么，其权重为对应排列的主要指标？
• RQ4 洛代-罗诺平面二叉树代数如何在自由拟对称函数代数中实现？
• RQ5 洛代-罗诺代数的对偶结构是什么，它与西尔维斯特商代数有何关系？

主要发现

• 二叉搜索树 $T$ 的西尔维斯特类恰好对应于所有满足 $\mathcal{P}(\sigma) = T$ 的排列 $\sigma$，且该类在排列的弱序中构成一个区间。
• 具有给定树形 $T$ 的排列数量由公式 $\frac{n!}{\prod_{\circ \in T} h_\circ}$ 给出，其中 $h_\circ$ 是以 $\circ$ 为根的子树的大小。
• 此类排列的q-模拟为 $\sum_{\mathcal{P}(\sigma)=T} q^{\mathrm{maj}(\sigma)} = \frac{[n]_q!}{\prod_{\circ \in T} q^{\delta_\circ} [h_\circ]_q}$，其中 $\delta_\circ$ 是 $\circ$ 的右子树的大小。
• 洛代-罗诺代数 $\mathbf{PBT}^*$ 的对偶同构于商代数 $\mathbb{C}[\mathrm{Sylv}(A)]$，其对偶基为 $\mathbf{Q}_T = \pi(\mathbf{G}_{w_T})$。
• 在 $\mathbf{PBT}$ 中，$\mathbf{P}_{T'} \mathbf{P}_{T''}$ 的乘积由西尔维斯特规则描述：$\mathbf{P}_{T'} \mathbf{P}_{T''} = \sum_{T \in \mathrm{Sh}(T',T'')} \mathbf{P}_T$，其中 $\mathrm{Sh}(T',T'')$ 是通过西尔维斯特插入规则合并得到的树的集合。
• 元素 $\mathbf{P}_T$ 构成洛代-罗诺代数的乘法基，其对应的对偶基 $\mathbf{Q}_T$ 为对偶代数提供基，且存在一个类似柯西恒等式将两者联系起来。