[论文解读] An analogue of the Rademacher function for generalized Dedekind sums in higher dimension

Hi-joon Chae, Byungheup Jun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

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一句话总结

本文引入了在 $n$ 维空间中 generalized Dedekind 和的更高维类比的 Rademacher 函数，利用 Todd 系列和迭代留数定义了一个广义 Rademacher 函数，以确保其整性。通过关联指数和的非平凡界，证明了这些广义 Dedekind 和的分数部分模 1 等分布，将经典 Dedekind 和结果推广至高维，并通过伯努利数显式控制分母。

ABSTRACT

We consider generalized Dedekind sums in dimension $n$, for fixed $n$-tuple of natural numbers, defined as sum of products of values of periodic Bernoulli functions. This includes the higher dimensional Dedekind sums of Zagier and Apostol-Carlitz' generalized Dedekind sums as well as the original Dedekind sums. These are realized as coefficients of Todd series of lattice cones and satisfy reciprocity law from the cocycle property of Todd series. Using iterated residue formula, we compute the coefficient of the decomposition of of the Todd series corresponding to a nonsingular decomposition of the lattice cone defining the Dedekind sums. We associate a Laurent polynomial which is added to generalized Dedekind sums of fixed index to make their denominators bounded. We give explicitly the denominator in terms of Bernoulli numbers. This generalizes the role played by the rational function given by the difference of the Rademacher function and the classical Dedekind sums. We associate an exponential sum to the generalized Dedekind sums using the integrality of the generalized Rademacher function. We show that this exponential sum has a nontrivial bound that is sufficient to fulfill Weyl's equidistribution criterion and thus the fractional part of the generalized Dedekind sums are equidistributed. As an example, for a 3 dimensional case and Zagier's higher dimensional generalization of Dedekind sums, we compute the Laurent polynomials associated.

研究动机与目标

• 通过 Todd 系列和格点锥分解，将经典 Rademacher 函数推广至高维 Dedekind 和。
• 通过关联一个洛朗多项式以修正无界分母，建立广义 Dedekind 和的有界分母。
• 通过广义 Rademacher 函数的整性，推导出关联指数和的非平凡界，证明广义 Dedekind 和的分数部分模 1 等分布。
• 计算特定情形下的显式洛朗多项式，例如三维 Dedekind 和以及 Zagier 的高维推广。
• 通过广义 Dedekind 和及其算术性质，为理解 totally real 域在非正整数处的局部 zeta 函数值提供框架。

提出的方法

• 利用格点锥的 Todd 系列表示广义 Dedekind 和的系数，借助 Todd 系列的上链性质建立互反律。
• 应用迭代留数公式对非奇异格点锥分解的 Todd 系列系数进行分解，实现显式计算。
• 将广义 Rademacher 函数定义为添加至广义 Dedekind 和的洛朗多项式，以控制其分母，且分母显式表示为伯努利数的函数。
• 从广义 Rademacher 函数的整性构造指数和，并推导出足够满足 Weyl 等分布准则的非平凡界。
• 利用 Parshin 点和形式幂级数环中的迭代常数项（留数）定义广义 Rademacher 函数，其行为依赖于变量的排序顺序。
• 利用通过连续留数映射定义的迭代常数项算子 $\operatorname{iCT}_{\mathfrak{A}}$，从有理函数中提取系数，确保在分母满足特定代数条件时的 $\mathfrak{A}$-适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典 Rademacher 函数推广至 $n$ 维空间中的广义 Dedekind 和？
• RQ2 广义 Dedekach 和的分母结构为何？能否通过校正项实现统一有界？
• RQ3 广义 Dedekind 和的分数部分是否模 1 等分布？其成立的条件是什么？
• RQ4 如何利用格点锥的 Todd 系列计算广义 Dedekind 和及其互反律？
• RQ5 在特定情形下（如三维或 Zagier 型和），广义 Dedekind 和的校正中会涌现出哪些显式洛朗多项式？

主要发现

• 广义 Rademacher 函数被构造为洛朗多项式，当其添加至固定指标的广义 Dedekach 和时，可确保分母有界，并显式表示为伯努利数的函数。
• 广义 Dedekach 和的分数部分模 1 等分布，通过推导关联指数和的非平凡界，满足 Weyl 等分布准则得以证明。
• 对于三维情形及 Zagier 的高维推广，本文显式计算了与广义 Rademacher 函数相关的洛朗多项式。
• 迭代留数公式允许对非奇异格点锥分解对应的 Todd 系列系数进行分解，从而精确计算广义 Dedekach 和。
• 广义 Rademacher 函数是整的，其整性被用于构造具有非平凡界的指数和，这对证明等分布性至关重要。
• 通过 Parshin 点的迭代常数项方法，为多变量有理函数的系数提供了系统化的定义与计算方式，其结果依赖于变量顺序，反映了格点锥的几何结构。