[论文解读] An analysis of the input-to-state-stabilisation of linear hyperbolic systems of balance laws with boundary disturbances

Gediyon Weldegiyorgis, Mapundi K. Banda|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对具有边界扰动的线性双曲平衡律的离散输入-状态稳定性（ISS）分析，采用$L^2$-范数ISS-李雅普诺夫函数。通过使用有限体积迎风格式和时间分裂法对连续的ISS-李雅普诺夫函数进行离散化，作者建立了离散系统保持ISS的条件，并在Saint-Venant方程和等温Euler方程的数值实验中展示了李雅普诺夫函数的渐近衰减。

ABSTRACT

In this paper, a linear hyperbolic system of balance laws with boundary disturbances in one dimension is considered. An explicit candidate Input-to-State Stability (ISS)-Lyapunov function in $ L^2- $norm is considered and discretised to investigate conditions for ISS of the discrete system as well. Finally, experimental results on test examples including the Saint-Venant equations with boundary disturbances are presented. The numerical results demonstrate the expected theoretical decay of the Lyapunov function.

研究动机与目标

• 分析具有边界扰动的线性双曲平衡律系统的输入-状态稳定性（ISS）。
• 为半离散化系统中的稳定性数值验证开发一种离散ISS-李雅普诺夫函数。
• 通过在Saint-Venant方程和等温Euler方程等物理模型上的数值模拟，验证理论ISS条件。
• 研究数值离散化（包括数值耗散）对ISS特性的影响。

提出的方法

• 为具有变系数的线性双曲平衡律系统构造一个连续的$L^2$-范数ISS-李雅普诺夫函数。
• 使用有限体积法结合迎风格式对李雅普诺夫函数进行空间近似离散化。
• 采用时间分裂法进行时间积分，以解耦双曲动力学与边界反馈。
• 通过确保在给定边界反馈和扰动结构下，离散李雅普诺夫函数随时间衰减，推导出稳定性条件。
• 通过在不同边界扰动配置下模拟离散李雅普诺夫函数的衰减，数值验证离散ISS的理论条件。
• 该方法应用于两个测试案例：Saint-Venant方程和具有特定初值与边界条件的等温Euler方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有边界扰动的线性双曲系统其离散$L^2$-范数李雅普诺夫函数会衰减？
• RQ2 ISS-李雅普诺夫函数的离散化是否能保持连续系统的输入-状态稳定性特性？
• RQ3 数值伪影（如数值耗散）如何影响离散李雅普诺夫函数的衰减速率？
• RQ4 当矩阵$M_j$非半正定时，等温Euler方程的ISS性质是否仍然成立？
• RQ5 数值模拟在多大程度上与边界扰动下李雅普诺夫函数的理论衰减行为一致？

主要发现

• 数值模拟表明，对于具有边界扰动的Saint-Venant方程，离散$L^2$-范数李雅普诺夫函数随时间渐近衰减，证实了系统的离散ISS特性。
• 在Saint-Venant方程中，对于多个$\mu > 0$的取值，均观察到李雅普诺夫函数衰减，且曲线收敛至零，表明系统具有鲁棒稳定性。
• 在等温Euler方程情况下，由于$\gamma_{22}(x) < 0$，导致矩阵$M_j$无法成为半正定矩阵，因此ISS条件不成立，ISS结果不成立。
• 在$T=10$，$J=1600$，CFL=0.75的模拟中，李雅普诺夫函数的衰减被明确观测到，验证了理论衰减速率。
• 数值结果证实，通过离散李雅普诺夫函数框架，可以计算验证基于理论推导的ISS条件。
• 本研究强调必须仔细分析数值伪影（如数值耗散）的影响，因为它们可能影响离散稳定性结果的收敛速率。