[论文解读] An analytic index for Lie groupoids

Paulo Carrillo Rouse|ArXiv.org|Dec 15, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的 Lie 群胚的解析指标同态，记为 $π_{a}^{h,k}$，其从余切丛的 $K$-理论映射到通过群胚上紧支集 $C^k$-函数构造的精化 $K$-理论群 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$。该同态通过切群胚的形变定义，能够与循环上循环闭链显式配对，克服了标准 $C^*$-解析指标在提取数值不变量方面的局限性。

ABSTRACT

For a Lie groupoid there is an analytic index morphism which takes values in the $K-$theory of the $C^*$-algebra associated to the groupoid. This is a good invariant but extracting numerical invariants from it, with the existent tools, is very difficult. In this work, we define another analytic index morphism associated to a Lie groupoid; this one takes values in a group that allows us to do pairings with cyclic cocycles. This last group is related to the compactly supported functions on the groupoid. We use the tangent groupoid to define our index as a sort of ''deformation''.

研究动机与目标

• 解决在 Lie 群胚指标理论中，从标准 $C^*$-解析指标提取数值不变量的困难。
• 构造一个中间 $K$-理论群 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$，使其在保持同伦不变性的同时，允许与循环上循环闭链配对。
• 定义一个新的解析指标同态 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$，使其定义良好、取值于群，并与经典指标理论框架相容。
• 通过引入基于 $C^k$-函数的同伦商，弥合 $C^\infty_c$-指标（可与循环上循环闭链配对）与 $C^*$-指标（具有同伦不变性）之间的差距。

提出的方法

• 将 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ 定义为 $K_0(C_c^k(\mathscr{G}))$ 关于通过 $[0,1]$ 端点取值诱导的同伦等价关系的商。
• 利用 Connes 的切群胚 $\mathscr{G}^T$ 构造群胚代数的形变，从而在符号类与指标之间建立连续路径。
• 从理想 $J = t \cdot \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 的 $k+q$ 次幂 $J^{k+q}$ 构造一个同态 $\varphi_k: J^{k+q} \to C_c^k(\mathscr{G} \times [0,1])$，映射到乘积上的 $C_c^k$-函数，保持 $K$-理论结构。
• 证明在 $e_0$（$t=0$ 处取值）下为零的 $K_0(\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T))$ 中的元素，映射到 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ 中的同伦平凡元素，从而确保 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ 的定义良好。
• 建立一个交换图，连接符号类、$C^\infty_c$-指标、$C^*$-解析指标与新定义的 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$，确认其与已知指标理论的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Lie 群胚构造一种精化解析指标，使其在保持同伦不变性的同时，允许与循环上循环闭链显式配对？
• RQ2 如何定义一个介于 $K_0(C_c^\infty(\mathscr{G}))$ 与 $K_0(C_r^*(\mathscr{G}))$ 之间的 $K$-理论群，以同时保留同伦不变性与可计算性？
• RQ3 切群胚在定义一种基于形变的解析指标中起什么作用，该指标可避免 $C^\infty_c$ 到 $C^*$-包含映射的非单射性问题？
• RQ4 通过在切群胚上于 $t=1$ 处取值构造的新指标同态 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ 是否定义良好？其与经典解析指标有何关系？

主要发现

• 同态 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}: K_0(A^*\mathscr{G}) \to K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ 定义良好，并尊重 $C_c^k(\mathscr{G})$ 上的同伦等价关系，确保其为群同态。
• 该构造依赖于 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$-函数的泰勒展开性质，使得理想 $J = t \cdot \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 可通过 $C^k$-同态 $\varphi_k$ 与 $J^{k+q}$ 关联。
• 映射 $\varphi_k: J^{k+q} \to C_c^k(\mathscr{G} \times [0,1])$ 诱导出一个在 $t=0$ 处消失的 $K$-理论同态，这意味着 $\ker(e_0)$ 中的元素映射到 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ 中的同伦平凡元素，满足定义良好的关键条件。
• 新指标 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ 落入一个与经典符号与解析指标映射相容的交换图中，确认其与已建立指标理论的一致性。
• $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ 允许与循环上循环闭链配对，从而可提取通过标准 $C^*$-解析指标无法获得的数值不变量。