[论文解读] An analytic technique for the solutions of nonlinear oscillators with damping using the Abel Equation

A. Ghose‐Choudhury, Partha Guha|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用 3

一句话总结

本文提出了一种解析方法，通过将广义 Riccati 方程约化为一阶 Abel 方程，并应用 Chiellini 可积性条件，求解一类非线性阻尼振子。对于系统 $\ddot{x} + \alpha x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} = 0$ 且 $\alpha \geq 2\sqrt{2(n+1)}$ 的情形，推导出显式闭式解，从理论上证实了此前关于此类系统中周期性到非周期性转变及等时性的数值猜想。

ABSTRACT

Using the Chiellini condition for integrability we derive explicit solutions for a generalized system of Riccati equations $\ddot{x}+αx^{2n+1}\dot{x}+x^{4n+3}=0$ by reduction to the first-order Abel equation assuming the parameter $α\ge 2\sqrt{2(n+1)}$. The technique, which was proposed by Harko extit{et al}, involves use of an auxiliary system of first-order differential equations sharing a common solution with the Abel equation. In the process analytical proofs of some of the conjectures made earlier on the basis of numerical investigations in \cite{SJKB} is provided.

研究动机与目标

• 为非线性阻尼振子中周期性运动向非周期性运动转变的数值猜想提供解析证明。
• 将 Chiellini 可积性条件的应用扩展至高阶非线性系统，特别是广义 Riccati 型方程。
• 为具有非线性阻尼和强非线性恢复力的非线性振子类推导出显式闭式解。
• 通过解析方法验证 Liénard 型系统 $\ddot{x} + (2n+3)x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} + w_0^2x = 0$ 中等时振荡的猜想。

提出的方法

• 通过变量替换 $\dot{x} = 1/v$ 将二阶非线性振子方程约化为第一类一阶 Abel 方程。
• 利用积分因子 $\exp(-\int g_2(x)dx)$ 将 Abel 方程转化为标准形式 $du/dx = A(x)u^2 + B(x)u^3$。
• 应用 Chiellini 可积性条件 $d/dx(B/A) = sA(x)$（其中 $s$ 为常数）以确保可通过初等积分精确求解。
• 在条件 $\alpha \geq 2\sqrt{2(n+1)}$ 下，通过对约化后的 Abel 方程进行积分推导出显式解。
• 利用与 Abel 方程共享相同解的辅助一阶常微分方程组，以促进积分过程。
• 通过变量分离与变换技术，将 Chiellini 条件推广至形如 $\ddot{x} + f(x)\dot{x}^{n+1} + g(x)\dot{x}^n = 0$ 的高阶 Liénard 方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性振子 $\ddot{x} + \alpha x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} = 0$ 中，周期性运动向非周期性运动转变的解析机制是什么？
• RQ2 系统 $\ddot{x} + (2n+3)x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} + w_0^2x = 0$ 中等时振荡的数值猜想能否被严格证明？
• RQ3 Chiellini 可积性条件如何推广至 Liénard 型方程中更高阶的非线性阻尼项？
• RQ4 临界阻尼阈值 $\alpha_c = 2\sqrt{2(n+1)}$ 在决定系统定性行为方面起什么作用？

主要发现

• 当 $\alpha \geq 2\sqrt{2(n+1)}$ 时，系统 $\ddot{x} + \alpha x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} = 0$ 可通过约化为 Abel 方程并应用 Chiellini 条件，获得显式闭式解。
• 临界值 $\alpha_c = 2\sqrt{2(n+1)}$ 标记了 Abel 方程中三次项判别式为零的点，标志着系统从周期性运动向非周期性运动的转变。
• 当 $\alpha = 2n+3$ 且 $w_0 \neq 0$ 时，解为周期性且等时的，这通过满足 Liénard 系统中等时性的 Sabatini 准则得到证实。
• 当 $\alpha = 2n+3$ 且 $w_0 = 0$ 时，解为奇异的，并在有限时间内爆破，其显式形式为 $x \propto [(t_0 \mp t)^{-1}]^{1/(2n+1)}$。
• 当 $\alpha = 2n+3$ 且 $w_0 = 1$ 时，解可表示为超几何函数 ${}_2F_1$，证实了其解析可积性。
• 广义的 Chiellini 条件 $\left(\frac{g}{f}\right)' = K \left(\frac{g^n}{f^{n-1}}\right)$ 可使具有 $\dot{x}^{n+1}$ 和 $\dot{x}^n$ 阻尼项的高阶 Liénard 方程实现精确积分。