[论文解读] An analytical condition for the violation of Mermin's inequality by any three qubit state

Satyabrata Adhikari, A. S. Majumdar|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Quantum Information and Cryptography被引用 4

一句话总结

本文通过将三-qubit态的相关张量构造的对称矩阵的特征值表示出Mermin算符的最大期望值，推导出三-qubit系统中Mermin不等式最大量子非局域性违反的解析公式。与以往的数值方法不同，该方法无需对测量方向进行优化，可直接确定纯态与混合态的非局域性违反，关键结果已在GHZ态、W态及混合态上得到验证。

ABSTRACT

Mermin's inequality is the generalization of the Bell-CHSH inequality for three qubit states. The violation of the Mermin inequality guarantees the fact that there exists quantum non-locality either between two or three qubits in a three qubit system. In the absence of an analytical result to this effect, in order to check for the violation of Mermin's inequality one has to perform a numerical optimization procedure for even three qubit pure states. Here we derive an analytical formula for the maximum value of the expectation of the Mermin operator in terms of eigenvalues of symmetric matrices, that gives the maximal violation of the Mermin inequality for all three qubit pure and mixed states.

研究动机与目标

• 为三-qubit系统中Mermin不等式的最大违反提供闭式解析判据。
• 消除评估非局域性时对测量方向进行数值优化的需求。
• 将原本仅适用于两量子比特的Horodecki型基于特征值的方法，扩展至三-qubit系统。
• 推导适用于纯态与混合态的统一条件。
• 在已知的纠缠态（如GHZ态、W态及混合叠加态）上验证该方法。

提出的方法

• 将Mermin算符的期望值⟨BM⟩ρ表示为态的相关张量tijk与测量向量a_j, b_j的多重线性形式。
• 将最大违反表示为由Pauli相关分量构造的对称矩阵T^T_x T_x、T^T_y T_y与T^T_z T_z的最大特征值的函数。
• 通过将问题转化为这些对称矩阵的特征值最大化，实现对测量方向的变分优化。
• 利用Mermin算符期望值的最大值由态的相关结构导出的三个对称矩阵的最大特征值决定的事实。
• 通过计算相应对称矩阵的最大特征值，应用推导出的公式计算纯态与混合态的最大⟨BM⟩ρ。
• 通过与GHZ态和W态的已知数值结果对比，验证了分析结果的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何三-qubit态（包括混合态）中Mermin不等式最大违反的解析条件是什么？
• RQ2 如何在不进行测量设置数值优化的情况下，计算Mermin算符最大期望值？
• RQ3 对称相关矩阵T^T_i T_i的特征值在决定三-qubit系统中的非局域性中起什么作用？
• RQ4 在混合态（如W态混合态）中，参数的哪些取值范围下Mermin不等式仍保持最大违反？
• RQ5 该解析公式能否重现GHZ态和W态等知名态的已知结果？

主要发现

• 对于W态混合态|Ψ⟩W,S，最大违反为⟨Bmax_M⟩ρ = 2√λ_max_x（当0.43 ≤ p ≤ 0.45时），以及⟨Bmax_M⟩ρ = 2√λ_max_z（当0.45 ≤ p ≤ 1时），违反发生在0 ≤ p ≤ 0.25范围内。
• 对于混合态ϱ = p|GHZ⟩⟨GHZ| + (1−p)|W⟩⟨W|，最大违反为⟨Bmax_M⟩ϱ = 4(1−p)（当0 ≤ p ≤ 0.43时），以及⟨Bmax_M⟩ϱ = 4√(4/9 − 8/9 p + 13/9 p²)（当0.43 ≤ p ≤ 1时），表明对所有p ∈ [0,1]均存在违反。
• 对W态混合态，T^T_x T_x、T^T_y T_y与T^T_z T_z的最大特征值被显式计算，其中λ_max_x = (1−p)(4/9 + 2/9 p + 2/9 √(12p − 3p²))。
• 该方法重现了已知结论：W态混合态仅在p ≤ 0.25时违反Mermin不等式，与先前数值研究结果一致。
• 该解析公式可直接计算最大违反，无需迭代优化，显著降低计算成本。
• 所推导的判据普遍适用于任意三-qubit纯态与混合态，为非局域性检测提供通用判据。