[论文解读] AN ANDREOTTI-GRAUERT THEOREM WITH $L^r$ ESTIMATES.

Éric Amar|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在 Stein 流形上建立了 Andreotti-Grauert 定理的 $L^r$-估计版本，证明了对于具有紧支集且属于 $L^r$ 的 $\bar{\partial}$-闭的 $(p,q)$-当前 $\omega$，存在一个解 $u$ 满足 $\bar{\partial}u = \omega$，且 $u \in L^r$ 与紧支集。证明使用了 Serre 对偶性和加权 $L^r$ 估计，通过去除之前方法中对系数导数的额外 $L^r$ 条件，推广了已有结果。

ABSTRACT

By a theorem of Andreotti and Grauert if $\\omega $ is a $(p,q)$ current, $q < n,$ in a Stein manifold $\\displaystyle \\Omega ,\\ \\bar \\partial $ closed and with compact support, then there is a solution $u$ to $\\bar \\partial u=\\omega $ still with compact support in $\\displaystyle \\Omega .$ The main result of this work is to show that if moreover $\\displaystyle \\omega \\in L^{r}(m),$ where $m$ is a suitable Lebesgue measure on the Stein manifold, then we have a solution $u$ with compact support {\\sl and} in $L^{s}(m),\\ \\frac{1}{s}=\\frac{1}{r}-\\frac{1}{2(n+1)}.$ We prove it by estimates in $L^{r}$ spaces with weights.

研究动机与目标

• 在具有紧支集数据的 Stein 流形上，建立 $\bar{\partial}$-方程的 $L^r$-估计。
• 消除先前使用冠状层方法时对系数导数所需的额外 $L^r$ 条件。
• 将 $\mathbb{C}^n$ 中有界区域上的 $L^r$-正则性结果推广至一般的 Stein 流形。
• 在对区域的 $r'$-正则性假设较弱的条件下，证明 $\bar{\partial}u = \omega$ 的紧支集 $L^r$ 解的存在性。
• 通过在 $L^r$ 空间中使用 Serre 对偶性和对偶性论证，实现非构造性但普遍的 $L^r$-估计。

提出的方法

• 引入了 Stein 流形中区域的弱 $r'$-正则性概念，通过三步解析链并结合 $L^r$ 有界性来定义。
• 运用 Serre 对偶性以及 $L^r$ 与 $L^{r'}$ 空间之间的对偶性，将 $\bar{\partial}$-闭形式与对偶空间中的当前联系起来。
• 利用对偶关系 $\left(L_{p,q}^r(\Omega)\right)^* = L_{n-p,n-q}^{r'}(\Omega)$ 来刻画 $L^r$-形式上的连续线性泛函。
• 通过 Hölder 不等式和对偶范数，利用数据 $\omega$ 的范数来控制解 $u$ 在 $L^r$ 中的范数。
• 依赖于区域的弱 $r'$-正则性及对偶性论证，保证了 $L^r$ 中具有紧支集的解 $u$ 的存在性。
• 利用 $L^r$-有界性等价于对偶空间上相关线性泛函有界性的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\omega$ 是 Stein 流形上 $L^r$ 中的 $\bar{\partial}$-闭 $(p,q)$-当前时，$\bar{\partial}$-方程 $\bar{\partial}u = \omega$ 是否存在满足 $u \in L^r$ 且具有紧支集的解？
• RQ2 在不额外要求 $\omega$ 的系数导数属于 $L^r$ 的条件下，解 $u$ 的 $L^r$-有界性是否仍然成立？
• RQ3 能否通过基于对偶性的方法，将 $\mathbb{C}^n$ 中区域的 $L^r$-正则性推广至一般的 Stein 流形？
• RQ4 弱 $r'$-正则性是否足以保证 $\bar{\partial}$-解在紧支集下的 $L^r$-估计？
• RQ5 在缺乏显式积分核的情况下，Serre 对偶性是否可用于建立 $\bar{\partial}$-解的非构造性 $L^r$-估计？

主要发现

• 主要结果表明：若 $\Omega$ 是 Stein 流形中一个弱 $r'$-正则的区域，则对任意 $\bar{\partial}$-闭的 $\omega \in L^r_c(\Omega)$ 且 $1 < r \leq \infty$，存在解 $u \in L^r_c(\Omega)$ 满足 $\bar{\partial}u = \omega$。
• 在弱 $r'$-正则性假设下，解 $u$ 满足估计 $\|u\|_{L^r} \leq C \|\omega\|_{L^r}$，其中常数 $C > 0$ 与 $\omega$ 无关。
• 该证明避免了冠状层方法，转而使用对偶性和加权 $L^r$ 估计，因此是非构造性的，但更具一般性。
• 当 $q < n$ 时，在 $\bar{\partial}$-闭性条件下成立；当 $q = n$ 时，需额外满足与全纯 $(n-p,0)$-形式正交的条件。
• 利用 $L^r$ 与 $L^{r'}$ 空间之间的对偶性，将 $L^r$-形式的对偶空间刻画为互补双次数的 $L^{r'}$-形式。
• 本文证实，$r$-正则性和弱 $r'$-正则性是 Stein 流形上 $\bar{\partial}$-解具有紧支集的 $L^r$-估计的充分条件。