[论文解读] An Anti-Folk Theorem for Large Repeated Games with Imperfect Monitoring

Mallesh M. Pai, Aaron Roth+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Privacy-Preserving Technologies in Data参考文献 24被引用 15

一句话总结

本文通过证明当玩家的信号满足 $(\epsilon,\gamma)$-差分隐私时（这在大型博弈中很常见），在大型重复博弈中存在非完美监控的反folk定理，即重复博弈的均衡在每一时期都必须涉及阶段博弈的近似均衡。随着玩家数量的增加，$\epsilon$ 和 $\gamma$ 逐渐减小，导致均衡集合坍缩为阶段博弈的均衡，从而限制了此类情境下folk定理的预测能力。

ABSTRACT

We study infinitely repeated games in settings of imperfect monitoring. We first prove a family of theorems that show that when the signals observed by the players satisfy a condition known as $(ε, γ)$-differential privacy, that the folk theorem has little bite: for values of $ε$ and $γ$ sufficiently small, for a fixed discount factor, any equilibrium of the repeated game involve players playing approximate equilibria of the stage game in every period. Next, we argue that in large games ($n$ player games in which unilateral deviations by single players have only a small impact on the utility of other players), many monitoring settings naturally lead to signals that satisfy $(ε,γ)$-differential privacy, for $ε$ and $γ$ tending to zero as the number of players $n$ grows large. We conclude that in such settings, the set of equilibria of the repeated game collapse to the set of equilibria of the stage game.

研究动机与目标

• 调查folk定理在具有非完美监控的大型重复博弈中是否仍具有预测力。
• 确定重复博弈中均衡多重性坍缩为阶段博弈均衡的条件。
• 形式化大型博弈与差分隐私之间的联系，将其作为衡量‘大型性’的指标。
• 提供均衡行为的定量边界，超越先前文献中的极限结果。
• 证明在具有固定噪声水平的大型博弈中，信号自然满足 $(\epsilon,\gamma)$-差分隐私，且当 $n \to \infty$ 时 $\epsilon,\gamma \to 0$。

提出的方法

• 作者定义并应用 $(\epsilon,\gamma)$-差分隐私来建模具有非完美监控的重复博弈中的信号。
• 他们证明，当信号满足小的 $\epsilon$ 和 $\gamma$ 的 $(\epsilon,\gamma)$-差分隐私时，重复博弈的均衡在每一时期都必须涉及阶段博弈的近似均衡。
• 对于公共监控，均衡必须是阶段博弈的近似纳什均衡；对于私人监控，必须是阶段博弈的近似相关均衡。
• 分析利用了差分隐私中的组合定理和后处理定理，以在信号变换下保持隐私保证。
• 该框架被应用于大型博弈，其中单个偏离的影响微小，证明在固定噪声水平下，当 $n \to \infty$ 时 $\epsilon,\gamma \to 0$。
• 结果被证明推广并量化了Green（1980）和Sabourian（1990）的早期结果，提供了有限样本边界的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，具有非完美监控的大型重复博弈中的均衡会坍缩为阶段博弈均衡？
• RQ2 差分隐私能否作为重复博弈中‘大型性’的自然且可量化的度量？
• RQ3 当信号具有差分隐私时，folk定理均衡在多大程度上失去其可行性？
• RQ4 均衡坍缩为阶段博弈结果是否具有可量化的边界，而不仅仅是渐近性质？
• RQ5 是否每一个阶段博弈的相关均衡序列都可以作为具有私人监控和差分隐私信号的重复博弈中的均衡被支持？

主要发现

• 当信号满足小的 $\epsilon$ 和 $\gamma$ 的 $(\epsilon,\gamma)$-差分隐私时，重复博弈的均衡在每一时期都必须涉及阶段博弈的近似均衡。
• 在具有固定噪声水平的大型博弈中，随着玩家数量 $n$ 增加，$\epsilon$ 和 $\gamma$ 趋近于零，导致重复博弈均衡坍缩为阶段博弈均衡。
• 对于公共监控，均衡集合坍缩为阶段博弈的近似纳什均衡。
• 对于私人监控，均衡集合坍缩为阶段博弈的近似相关均衡。
• 结果提供了均衡行为的定量边界，超越了早期文献中的定性或极限结果。
• 该框架表明，差分隐私是重复博弈中‘大型性’的自然且通用的度量，对预测能力和无谓损失价格具有启示意义。