[论文解读] An anti-incursion algorithm for unknown probabilistic adversaries on connected graphs

Jesse Geneson|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2017

Advanced Malware Detection Techniques参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种改进的深度优先搜索算法，用于在连通图上追捕一名移动分布未知的随机性赌徒，其中赌徒的移动分布未知。通过在随机选择的叶节点处战略性地多停留一回合，警探将预期捕获时间减少至约 1.95n，优于 Komarov 和 Winkler 建立的先前上界 1.97n。

ABSTRACT

A gambler moves on the vertices $1, \ldots, n$ of a graph using the probability distribution $p_{1}, \ldots, p_{n}$. A cop pursues the gambler on the graph, only being able to move between adjacent vertices. What is the expected number of moves that the gambler can make until the cop catches them? Komarov and Winkler proved an upper bound of approximately $1.97n$ for the expected capture time on any connected $n$-vertex graph when the cop does not know the gambler's distribution. We improve this upper bound to approximately $1.95n$ by modifying the cop's pursuit algorithm.

研究动机与目标

• 降低警探在连通图上追捕未知随机性赌徒的预期捕获时间。
• 改进 Komarov 和 Winkler 建立的约 1.97n 的先前上界。
• 探究是否可实现 1.5n（即 3n/2）的猜想上界，特别是在星形图等最坏情况图中。
• 分析在选定叶节点处战略性暂停对逃逸概率与捕获效率的影响。
• 通过受限访问模式下的逃逸概率概率分析，进一步优化上界。

提出的方法

• 警探在连通图 G 的生成树 T 上执行深度优先搜索（DFS）。
• 警探从 ⌈0.72912n⌉ 个顶点中随机选择一个子集 U，并在每个属于 U 的叶节点处多停留一回合。
• 在每个循环开始时，以均匀随机的方式选择 DFS 的方向（前进或后退）。
• 由于随机方向选择，单次 DFS 的预期回合数被限制在 ≤1.36456n 以内。
• 逃逸概率分两种情况分析：当两个高概率顶点被多次访问时，以及其余情况。
• 采用截断搜索 S 和 S′ 的简化技术，对逃逸概率进行上界估计，从而导出指数衰减界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连通 n 个顶点的图上，对于未知随机性对手，能否将预期捕获时间改进至低于先前上界 1.97n？
• RQ2 最小化预期捕获时间的最优战略性暂停次数（即在叶节点处的额外回合数）是多少？
• RQ3 在未知赌徒模型下，星形图是否仍是预期捕获时间的最坏情况？
• RQ4 顶点访问频率的分布如何影响基于 DFS 的追捕策略中的逃逸概率？
• RQ5 能否利用概率不等式与对称性论证，推导出更紧致的逃逸概率分析上界？

主要发现

• 预期捕获时间的上界被控制在约 1.95335n 以内，优于先前的上界 1.97n。
• 单次 DFS 中的逃逸概率至多为 0.17745，该结果由不等式 (1−1/n)^1.72912n ≤ e^−1.72912 推导得出。
• 捕获前的 DFS 循环次数的期望值小于 1.21574，基于逃逸概率计算得出。
• 失败 DFS 循环中的预期回合数小于 0.58879n，成功循环中的预期回合数不超过 1.36456n。
• 常数 0.72912 的选择是为了最小化表达式 x/(1−e^(1−x)) − x/2 在 x=2.72912 处的值，从而优化上界。
• 该上界并非紧致，因为已知特定图（如环图 C_n）的最佳上界范围在 1.082n 到 1.953n 之间。