[论文解读] An Anti-Ramsey Problem Concerning Complete Bipartite Graphs

Stephan Cho, Jay Cummings+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了任意完全二分图 $K_{m,n}$ 的正常边染色中包含彩虹 $K_{a,b}$ 子图的充分条件：若 $m \geq a$ 且 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$，则 $K_{m,n} \rightarrow_R K_{a,b}$。主要贡献在于通过有限射影平面的联系，证明了该界对无限参数族是紧致的，并引入了基于完全二分图中顶点与边最小性的新型反拉姆齐数。

ABSTRACT

We consider quadruples of positive integers $(a,b,m,n)$ with $a\leq b$ and $m\leq n$ such that any proper edge-coloring of the complete bipartite graph $K_{m,n}$ contains a rainbow $K_{a,b}$ subgraph. We show that any such quadruple with $a\leq m$ and $n>(a^2-a+1)(b-1)$ satisfies this property. We also show that the quadruple $(2,3,3,6)$ satisfies this property. We end with a conjecture.

研究动机与目标

• 确定完全二分图 $K_{m,n}$ 的每种正常边染色中均包含彩虹 $K_{a,b}$ 子图的条件。
• 研究迫使正常边染色中存在彩虹 $K_{a,b}$ 子图的最小完全二分图 $K_{m,n}$。
• 基于此类最小图的顶点数（$AR_V$）和边数（$AR_E$）定义并计算新的反拉姆齐数。
• 通过有限射影平面探讨界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ 的紧致性，当 $a-1$ 为素数幂时。

提出的方法

• 利用正常边染色的完全二分图与拉丁矩形之间的标准对应关系，将反拉姆齐问题转化为矩形中符号分布的组合问题。
• 通过列数的归纳法证明：若 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$，则对应的 $a \times n$ 拉丁矩形中必存在一个彩虹 $a \times b$ 子矩形。
• 利用 Singler 关于射影平面对称自同构的定理，当 $a-1$ 为素数幂时，构造出不含任何彩虹 $a \times 2$ 子矩形的 $a \times (a^2 - a + 1)$ 拉丁矩形。
• 利用射影平面的结构，证明当参数属于无限族时，界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ 是紧致的。
• 将顶点反拉姆齐数 $AR_V(K_{a,b})$ 定义为满足 $K_{m,n} \rightarrow_R K_{a,b}$ 的 $K_{m,n}$ 中最小顶点数，并类似地定义边反拉姆齐数 $AR_E(K_{a,b})$。
• 通过组合计数与极值论证，证明在特定 $a$ 和 $b$ 条件下，$AR_V(K_{2,b}) = 3b$ 且 $AR_E(K_{a,b}) = a^2(a-1)(b-1) + ab$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $m$、$n$、$a$ 和 $b$ 的何种条件下，$K_{m,n}$ 的每种正常边染色均包含彩虹 $K_{a,b}$ 子图？
• RQ2 界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ 对于 $K_{m,n}$ 中彩虹 $K_{a,b}$ 子图的存在性是否紧致？
• RQ3 能否通过顶点数或边数表征迫使出现彩虹 $K_{a,b}$ 子图的最小完全二分图 $K_{m,n}$？
• RQ4 对于 $b \geq 2$，顶点反拉姆齐数 $AR_V(K_{2,b})$ 的值是多少？
• RQ5 在何种条件下 $AR_E(K_{a,b}) = a^2(a-1)(b-1) + ab$ 成立？

主要发现

• 本文证明：若 $m \geq a$ 且 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$，则 $K_{m,n}$ 的每种正常边染色均包含彩虹 $K_{a,b}$ 子图。
• 当 $a-1$ 为素数幂时，界 $n > (a^2 - a + 1)(b - 1)$ 对于无限参数族是紧致的：存在 $K_{a, (a^2 - a + 1)(b - 1)}$ 的正常边染色，其不包含任何彩虹 $K_{a,b}$ 子图。
• 对于所有整数 $b \geq 2$，顶点反拉姆齐数 $AR_V(K_{2,b})$ 恰好为 $3b$，即 $K_{2,3b-2}$ 不保证存在彩虹 $K_{2,b}$，但 $K_{2,3b-1}$ 保证存在。
• 当 $a-1$ 为素数幂且 $b \geq a(a-1)$ 时，边反拉姆齐数 $AR_E(K_{a,b})$ 等于 $a^2(a-1)(b-1) + ab$，且该值对这类图是最小的。
• 当且仅当 $a-1$ 为素数幂时，可构造出不含彩虹 $a \times 2$ 子矩形的 $a \times (a^2 - a + 1)$ 拉丁矩形，这将极值问题与有限射影平面联系起来。
• 本文首次在正常边染色的背景下，引入并计算了完全二分图的顶点与边反拉姆齐数的已知具体数值。