[论文解读] An anticipating Itô formula for Lévy processes

Elisa Alòs, Jorge A. Leòn+1 more|ArXiv.org|Jul 31, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文通过在典范 Lévy 空间上使用 Malliavin 微积分，为 Lévy 过程建立了预测性 Itô 公式，将经典 Itô 公式推广至非适应过程。主要贡献在于一个变量替换公式，其中连续部分的随机积分采用 Skorohod 意义，跳跃部分则为路径积分，适用于 Malliavin 意义下具有‘未来’导数的系数，从而统一了适应与预测性 Itô 公式的框架，适用于 Wiener 空间。

ABSTRACT

In this paper, we use the Malliavin calculus techniques to obtain an anticipative version of the change of variable formula for Lévy processes. Here the coefficients are in the domain of the anihilation (gradient) operator in the "future sense", which includes the family of all adapted and square-integrable processes. This domain was introduced on the Wiener space by Alòs and Nualart.

研究动机与目标

• 将经典 Itô 公式推广至 Lévy 过程背景下非适应（预测性）系数的情形。
• 构建一个适用于 Lévy 过程的随机微积分框架，通过 Malliavin 微积分容纳非适应的被积函数。
• 在一个单一的变量替换公式中统一处理连续部分的 Skorohod 积分与跳跃部分的路径积分。
• 定义并表征一类具有‘未来’导数的平方可积过程，推广适应过程的概念。
• 在 Lévy 测度满足可积性条件（特别是 ∫|x|dν(x) < ∞）下，建立严格有效的预测性 Itô 公式。

提出的方法

• 利用 Solé、Utset 与 Vives（2003）定义的典范 Lévy 空间框架，定义 Lévy 过程的 Malliavin 导数与散度算子。
• 应用 Malliavin 微积分技术，特别是梯度（导数）算子与散度（Skorohod 积分）算子，处理非适应过程。
• 将梯度算子的定义域扩展至包含具有‘未来’导数的过程，从而超越适应过程的范畴。
• 利用 Wiener 細分分解与随机积分的路径特征表征，处理 Lévy 过程的跳跃部分。
• 依赖 Lévy-Itô 分解，将过程的连续部分与跳跃部分分离。
• 通过等距性质与收敛性论证（利用控制收敛定理与 L2 收敛）来严格证明推导过程中极限的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当被积函数不适应于滤子流时，能否为 Lévy 过程推导出预测性 Itô 公式？
• RQ2 如何将 Malliavin 微积分扩展至 Lévy 过程，以处理具有未来导数的非适应被积函数？
• RQ3 在预测性设定下，Lévy 过程的连续部分与跳跃部分的正确随机积分形式为何？
• RQ4 Skorohod 积分与路径积分如何在一个单一的变量替换公式中共同作用于 Lévy 过程？
• RQ5 Lévy 测度的何种可积性条件可确保预测性 Itô 公式的有效性？

主要发现

• 本文建立了一个新的 Lévy 过程预测性 Itô 公式，该公式同时推广了经典适应性 Itô 公式与 Wiener 空间上的预测性公式。
• 该公式适用于梯度算子定义域内的系数，该定义域包含所有适应的平方可积过程，且在适应情形下导数为零。
• 连续部分的随机积分采用 Skorohod 意义，而跳跃部分通过路径积分处理，确保与 Lévy-Itô 分解的一致性。
• 公式中包含了连续部分的二次变差校正项，以及跳跃部分的校正项，其中包含跳跃分量中过程导数的项。
• 通过 L2 收敛与控制收敛定理，严格证明了截断小跳跃时近似序列的收敛性，特别是当 ε → 0 时。
• 在条件 ∫|x|dν(x) < ∞ 下，公式依然有效，且跳跃部分的积分在 L2 意义下定义良好。