[论文解读] An Anzellotti type pairing for divergence-measure fields and a notion of weakly super-$1$-harmonic functions

Christoph Scheven, Thomas Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文引入了一种新型的 Anzellotti 类型配对，将散度测度场与 BV 函数的梯度关联起来，使用特定的代表元 $u^+$，该代表元几乎处处定义于 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 测度下，确保了弱超 1-次调和函数定义的一致性。主要贡献在于提出了一种新的弱上解概念，用于 1-Laplace 方程，通过修改后的配对方式引入边界数据，并建立了紧致性结果，证明了在弱*收敛下具有稳定性。

ABSTRACT

We study generalized products of divergence-measure fields and gradient measures of { m BV} functions. These products depend on the choice of a representative of the { m BV} function, and here we single out a specific choice which is suitable in order to define and investigate a notion of weak supersolutions for the $1$-Laplace operator.

研究动机与目标

• 在 BV 框架下，定义 1-Laplace 方程弱上解的一致且稳定的概念。
• 通过选择一个在 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 几乎处处定义的特定代表元 $u^+$，解决散度测度场与 BV 函数之间配对的模糊性。
• 通过修改的边界配对，将 1-次调和函数理论扩展到带有 Dirichlet 边界条件的上解。
• 在自然收敛假设下，建立弱超 1-次调和函数序列的紧致性。

提出的方法

• 引入 BV 函数 $u$ 的新代表元 $u^+$，其在减小边界上几乎处处定义于 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 测度下，确保与散度测度场配对的一致性。
• 为 $\sigma \in {\mathcal{DM}}^{\infty}_{\rm loc}(\Omega, \mathbb{R}^n)$ 和 $u \in {\rm BV}_{\rm loc}(\Omega) \cap {\rm L}^\infty_{\rm loc}(\Omega)$ 定义广义配对 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket$，其结果为有符号 Radon 测度。
• 构建一种包含边界数据 $u_0 \in {\rm W}^{1,1}(\Omega) \cap {\rm L}^\infty(\Omega)$ 的边界到边界的配对 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^*$。
• 通过条件 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^* = |{\rm D}_{u_0}u|$ 在 $\overline{\Omega}$ 上成立，且存在 $\sigma \in S^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$ 满足 ${\rm div}\,\sigma \leq 0$，来定义弱超 1-次调和函数。
• 利用 $|{\rm div}\,\sigma|$ 关于 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 的绝对连续性，确保配对定义良好且在收敛下稳定。
• 证明了一个紧致性结果（定理 5.2）：在收敛假设下，弱超 1-次调和函数的递增序列的极限本身也是弱超 1-次调和函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当函数仅在 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 零测集上定义时，如何定义散度测度场与 BV 函数之间的一致且稳定的配对？
• RQ2 哪种 BV 函数的代表元能确保广义配对定义良好且具有物理意义？
• RQ3 在 BV 框架下，如何将 1-Laplace 方程的上解概念扩展至包含 Dirichlet 边界条件？
• RQ4 在自然收敛假设下，弱超 1-次调和函数序列具有何种紧致性性质？
• RQ5 解的边界行为与向量场 $\sigma$ 在 $\partial\Omega$ 上的法向分量之间有何关系？

主要发现

• 本文提出了一种 BV 函数的新代表元 $u^+$，其在减小边界上几乎处处定义于 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 测度下，确保了与散度测度场广义配对的一致性。
• 广义配对 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket$ 定义良好，并产生一个有符号 Radon 测度，从而支持弱超 1-次调和函数的定义。
• 构建了一种修改后的边界到边界的配对 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^*$，以纳入 Dirichlet 边界数据 $u_0$。
• 弱超 1-次调和函数定义中的边界条件等价于：在满足 $u_{\partial\Omega}^{\rm int} < (u_0)_{\partial\Omega}^{\rm int}$ 的集合上，有 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-几乎处处成立 $\sigma_n^* \equiv -1$。
• 定理 5.2 建立了紧致性结果：在边界数据强 $W^{1,1}$ 收敛和弱* $L^\infty$ 收敛，以及函数弱*收敛的假设下，弱超 1-次调和函数递增序列的极限本身也是弱超 1-次调和函数。
• 结果表明，只要不跨越 $u$ 的迹，边界值的增减不会影响上解性质，这与一维情形一致。