[论文解读] An application of free Lie algebras to current algebras and their representation theory

Vyjayanthi Chari, Jacob Greenstein|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种通过 Kac-Moody 李代数与自由李代数的半直积的商构造来实现当前代数的新方法，从而能够通过张量代数中的 $Γ$-不变理想系统地构造表示。关键贡献在于建立了此类理想与当前代数表示之间的典范对应关系，从而导出显式表示族，包括 Kirillov-Reshetikhin 模的典型极限和基本 Weyl 模。

ABSTRACT

We realize the current algebra of a Kac-Moody algebra as a quotient of a semi-direct product of the Kac-Moody Lie algebra and the free Lie algebra of the Kac-Moody algebra. We use this realization to study the representations of the current alg ebra. In particular we see that every ad-invariant ideal in the symmetric algebra of the Kac-Moody algebra gives rise in a canonical way to a representation of the current algebra. These representations include certain well-known families of representations of the current algebra of a simple Lie algebra. Another family of examples, which are the classical limits of the Kirillov-Reshe tikhin modules, are also obtained explicitly by using a construction of Kostant. Finally we study extensi ons in the category of finite dimensional modules of the current algebra of a simple Lie algebra.

研究动机与目标

• 开发一种利用自由李代数和不变理想研究当前代数表示的新代数框架。
• 建立当前代数张量代数中的 $Γ$-不变理想与该代数表示之间的典范对应关系。
• 构造显式表示族，包括 Kirillov-Reshetikhin 模的典型极限和基本 Weyl 模。
• 计算当前代数表示范畴中有限维模之间的扩张。
• 通过消去算子和权空间的条件，刻画当前代数模的完全可约性。

提出的方法

• 将当前代数 $χ[t]$ 实现为半直积 $Σ ⋂ F(χ)$ 的商，其中 $F(χ)$ 是 $χ$ 上的自由李代数。
• 定义李代数同态 $τ[t]: F(χ) → χ[t]t$，其核为 $Σ$，即在伴随作用下映射为零的齐次理想。
• 利用 $χ$ 在 $T(χ)$ 上的作用，将 $Σ$ 识别为张量代数中的 $χ$-不变理想。
• 通过商 $T(χ)/Σ$，从包含 $Σ$ 的 $T(χ)$ 中的 $χ$-不变理想 $Σ$ 构造 $χ[t]$ 的表示。
• 应用 Kostant 的构造，将基本 Weyl 模和 Kirillov-Reshetikhin 模作为特例实现。
• 利用扩展的 $χ$-模结构，计算 $Σ^1(χ[t])$-扩张，即在不可约有限维模之间的扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过自由李代数和半直积系统地实现当前代数 $χ[t]$？
• RQ2 在 $T(χ)$ 中的 $χ$-不变理想与 $χ[t]$ 的表示之间，其精确对应关系是什么？
• RQ3 哪些已知的当前代数表示族由此构造产生，特别是 Kirillov-Reshetikhin 模的典型极限？
• RQ4 在何种条件下，一个 $χ[t]$-模是完全可约的？
• RQ5 $\operatorname{Ext}^1_{χ[t]}(χ, V)$ 的维数是多少，其中 $V$ 是不可约有限维模？

主要发现

• 当前代数 $χ[t]$ 同构于半直积 $χ ⋂ F(χ)$ 关于映射 $τ[t]$ 的核的商，该核是 $F(χ)$ 中的齐次理想。
• 每个包含 $Σ$ 的 $T(χ)$ 中的 $χ$-不变理想 $Σ$ 都会导出一个 $χ[t]$ 的表示 $V(Σ)$。
• Kirillov-Reshetikhin 模的典型极限被实现为 $T(χ)$ 关于形如 $x ⊗ y - y ⊗ x$ 的元素生成的理想之商。
• 当 $χ$ 是单代数时，若 $V cong χ(\operatorname{ad}, a\operatorname{ad})$，则 $Σ^1_{χ[t]}(χ, V) = 1$，否则为 $0$。
• $χ[t]$-模 $V$ 完全可约当且仅当存在互异的 $a_i ∈ Χ$ 及向量 $v_j$，使得 $x^{-}Ø Ø (t - a_1)Ø Ø (t - a_k)v_j = 0$。
• $\operatorname{Ext}^1_{χ[t]}(χ, V)$ 的维数为 1 若 $V cong χ(\operatorname{ad}, a\operatorname{ad})$，否则为 0，且该结果可通过对偶性推广至任意不可约模。