[论文解读] An Application of SAT Solvers in Integer Programming Games

Koirala, Pravesh, Shrey, Aditya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2025

Experimental Behavioral Economics Studies被引用 6

一句话总结

本文提出了一种通用算法 Cut-and-Play (CnP)，用于在非合作、非凸博弈中计算纳什均衡，其中各玩家求解可分离的优化问题。通过利用凸包的外逼近和迭代切平面，CnP 能够高效计算精确均衡或证明其不存在，在具有挑战性的双层和离散非凸博弈上优于特定问题的求解方法。

ABSTRACT

Integer programming games (IPGs) are a popular game-theoretic tool to model an array of games where each player has a discrete strategy set. These games arise in important domains such as economics, transportation, cybersecurity, etc., but solving them is non-trivial as it is known that checking for the existence of pure Nash equilibria in an IPG is Σ₂^p-complete. Recent works have proposed a class of relaxed solution concepts for IPGs called locally optimal integer solutions (LOIS) and shown it to be an efficient alternative for pure Nash equilibria. While LOIS are significantly simpler to compute, they still do not scale when solved using traditional mathematical solvers, especially when high-quality solutions are desired. In this paper, we apply commercially available SAT solvers to find LOIS in IPGs. We investigate efficient encodings for a cybersecurity game and compare solution times when using SAT solvers vs mathematical program solvers. We also investigate the application of SAT solvers in graph games using a graph interdiction example and compare against the obtained LOI solutions against existing heuristics-based solutions. Our results indicate that with appropriate encodings, large-scale IPGs can be solved much more efficiently using SAT solvers. We also show that SAT solvers can be applied to graph games in conjunction with LOIS for obtaining high-quality solutions. Our results emphasize the potential of SAT solvers combined with LOIS to solve significant game theory problems.

研究动机与目标

• 解决在具有可分离收益的非凸同时博弈中缺乏通用算法来计算纳什均衡的问题。
• 克服现有方法对凸性、连续性或有界策略集的依赖。
• 开发一个框架，能够计算精确均衡（至机器精度）或证明其不存在，而不依赖于较弱的均衡概念。
• 支持与标准优化软件的集成，并处理无界可行集。
• 在涉及离散决策和双层结构的困难实例上，展示通用算法相对于特定问题求解器的计算优越性。

提出的方法

• 通过将每个玩家的非凸可行集替换为其凸包，构建一个等价的凸博弈，建立原始博弈与凸化博弈之间均衡的对应关系。
• 引入一种通过一系列越来越精确的多面体外逼近来实现博弈逼近的新概念。
• 应用一种切平面方法，通过从最优性条件和互补性约束中导出的切平面，迭代地改进逼近。
• 整合混合整数规划（MIP）和连续优化技术，包括分支和松弛策略。
• 使用混合（HB）和基于偏差的（DB）分支规则，指导在外逼近中寻找均衡。
• 利用这样一个事实：如果在闭凸包中不存在均衡，则原始博弈中也不存在均衡，从而在非存在性证明中实现早期终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种通用算法，能够在不依赖凸性或连续性的情况下，精确计算非凸同时博弈中的纳什均衡？
• RQ2 原始非凸博弈中的均衡与使用凸包构造的凸化博弈中的均衡之间存在何种关系？
• RQ3 能否有效利用切平面的外逼近来计算或证明非凸博弈中均衡的非存在性？
• RQ4 在涉及整数变量和双层约束的困难实例上，通用算法如 Cut-and-Play 相对于特定问题求解器的性能如何？
• RQ5 在何种条件下，凸包表示可能无法保持均衡？此类问题在计算上如何检测或避免？

主要发现

• Cut-and-Play 在 B 组的 50 个实例中成功计算出 47 个混合纳什均衡（MNE），在 H7 组的 50 个实例中全部成功计算，且在测试实例中未出现数值问题。
• 在 H7 组 50 个具有 7 名玩家和 7 名追随者的困难实例中，CnP-HB 在 300 秒内求解了 41 个实例至最优，而问题特定的 Inn-S-1 算法因数值问题在全部 50 个实例中均失败。
• CnP-HB 在 H7 组上的平均求解时间为 53.79 秒，显著优于 Inn-S-1，后者在所有实例上均达到时间限制。
• 基于偏差的分支（CnP-DB）在 H7 组上求解了 35 个 MNE，其中 15 个达到时间限制，表明其在高计算压力下仍具鲁棒性。
• 尽管理论上存在非闭凸包可能导致问题的担忧，但实验中无任何实例表现出示例 2 中描述的病态行为，表明外逼近方法在实践中具有稳定性。
• CnP 在数值稳定性方面优于特定问题的内逼近算法 Inn-S，后者在 H7 组上遇到了 46 个数值问题。