[论文解读] An Application of Stochastic Flows to Riemannian Foliations

Alan Gregory Mason|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 25

一句话总结

该论文在紧致黎曼叶状的正交标架丛上应用随机流，构造出一个扩散过程，其生成元保持基本函数与形式。证明了存在唯一严格正则光滑函数 $\phi$ 满足 $A^*\phi = 0$，并利用该函数对度量进行扰动，使得平均曲率的基本投影成为基本调和的，通过概率论中的遍历理论建立了一个几何条件。

ABSTRACT

A stochastic flow is constructed on a frame bundle adapted to a Riemannian foliation on a compact manifold. The generator A of the resulting transition semigroup is shown to preserve the basic functions and forms, and there is an essentially unique strictly positive smooth function phi satisfying A^* phi = 0. This function is used to perturb the metric, and an application of the ergodic theorem shows that there exists a bundle-like metric for which the basic projection of the mean curvature is basic-harmonic.

研究动机与目标

• 将 Eells–Elworthy 的随机构造方法推广至黎曼叶状，使用适配的标架丛。
• 证明由随机流生成的转移半群保持基本函数与形式。
• 建立唯一严格正则光滑函数 $\phi$ 满足 $A^*\phi = 0$ 的存在性。
• 利用 $\phi$ 对度量进行扰动，使得平均曲率的基本投影为调和。
• 证明遍历定理意味着存在一种度量，使得平均曲率的基本部分为调和。

提出的方法

• 使用与度量保持仿射联络 $\nabla^\oplus$ 相关的典范水平向量场 $Y_i$，在正交标架丛 $\mathcal{O}(M)$ 上构造随机流。
• 定义半群 $S_t$ 的生成元 $A = \frac{1}{2}\Delta + b$，其中 $b$ 是由联络产生的漂移场。
• 将流限制在适配标架丛 ${}^{\mathcal{F}}\mathcal{O}(M)$ 上，以保持叶状结构。
• 利用引理 3.4 证明，尽管完整流不尊重叶状结构，但其横截半群 $T_t$ 仍保持基本函数。
• 对与 $\phi$ 相关的不变测度应用遍历定理，得到 $\lim_{t\to\infty} S_t f(z) = \int_M f\,d\mu$，其中 $\mu$ 是密度为 $\phi$ 的概率测度。
• 利用 $\phi$ 的存在性对度量进行扰动，使得 $\delta_{\text{b}}\kappa = 0$，即平均曲率的基本投影为调和。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在标架丛上使用随机流来构造黎曼叶状的几何不变量？
• RQ2 在黎曼叶状上，是否存在严格正则光滑函数 $\phi$，使得其满足生成元 $A$ 的 $A^*\phi = 0$？
• RQ3 能否利用 $\phi$ 对度量进行扰动，使得平均曲率的基本投影为调和？
• RQ4 半群 $S_t$ 对基本函数的保持是否源于随机流结构？这一性质能否在不使用概率工具的情况下得到证明？
• RQ5 在何种条件下函数 $\phi$ 的基本部分为常数？这对叶状的几何有何含义？

主要发现

• 存在唯一严格正则光滑函数 $\phi$ 满足 $A^*\phi = 0$，唯一性在缩放意义下成立。
• 半群 $S_t$ 保持基本函数与形式，尽管完整流不尊重叶状结构。
• 横截半群 $T_t$ 与 $S_t$ 在基本函数上一致，即对所有基本函数 $f$ 有 $S_t f = T_t f$。
• 遍历定理确保 $\lim_{t\to\infty} S_t f(z) = \int_M f\,d\mu$，其中 $\mu$ 是密度为 $\phi$ 的概率测度。
• 存在一种度量，使得平均曲率的基本投影为调和，即 $\delta_{\text{b}}\kappa = 0$，通过利用 $\phi$ 对度量进行扰动实现。
• 若 $h(t) = (dt, \kappa)$ 不恒为零，则 $h(t)/C = d\mu_L/d\mu$，即勒贝格测度关于由纤维积分定义的测度 $\mu$ 的 Radon–Nikodym 导数，且当 $C \neq 0$ 时，对所有 $t$ 有 $h(t) > 0$。