[论文解读] An Approximate Dynamic Programming Approach to The Incremental Knapsack Problem

Ali Aouad, Danny Segev|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文首次为增量背包问题提出了多项式时间近似方案（PTAS），该问题是具有随时间变化容量的0-1背包问题的强NP难推广。通过利用带有状态剪枝、舍入和问题分解的近似动态规划公式，作者在多项式时间内实现了(1−ε)-近似解，解决了近似算法领域长期存在的开放性问题。

ABSTRACT

We study the incremental knapsack problem, where one wishes to sequentially pack items into a knapsack whose capacity expands over a finite planning horizon, with the objective of maximizing time-averaged profits. While various approximation algorithms were developed under mitigating structural assumptions, obtaining non-trivial performance guarantees for this problem in its utmost generality has remained an open question thus far. In this paper, we devise a polynomial-time approximation scheme for general instances of the incremental knapsack problem, which is the strongest guarantee possible given existing hardness results. In contrast to earlier work, our algorithmic approach exploits an approximate dynamic programming formulation. Starting with a simple exponentially sized dynamic program, we prove that an appropriate composition of state pruning ideas yields a polynomially sized state space with negligible loss of optimality. The analysis of this formulation synthesizes various techniques, including new problem decompositions, parsimonious counting arguments, and efficient rounding methods, that may be of broader interest.

研究动机与目标

• 在一般设置下填补增量背包问题近似保证的空白，此前的工作仅在结构假设下实现了常数因子近似。
• 尽管增量背包问题具有强NP难性，仍需开发其多项式时间近似方案（PTAS），因为这排除了除非P=NP，否则存在FPTAS的可能性。
• 证明基于状态剪枝和舍入的近似动态规划公式可产生接近最优的解，并具备可证明的性能保证。
• 整合新颖技术，包括节俭计数和高效舍入，这些技术可能超越本问题的适用范围。

提出的方法

• 将增量背包问题表述为一个状态空间呈指数级增长的动态规划问题，其中状态追踪时间、物品索引和收益。
• 通过舍入收益和权重参数，引入离散化状态空间，将状态空间缩减至多项式规模，同时保持近似最优性。
• 应用状态剪枝技术，基于收益和权重阈值剔除次优或冗余状态，确保剩余状态可产生(1−ε)-近似解。
• 通过将物品划分为簇来实现问题分解，以管理复杂性并高效计算中间解。
• 利用节俭计数论证来限制相关状态的数量，确保运行时间为多项式时间。
• 证明近似值函数是真实值函数的下界，从而支持性能保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于增量背包问题的强NP难性和缺乏FPTAS，能否为一般增量背包问题设计PTAS？
• RQ2 近似动态规划能否有效应用于具有时变约束和嵌套装填需求的问题？
• RQ3 哪些状态剪枝和舍入策略可在将状态空间缩减至多项式规模的同时保持近似最优性？
• RQ4 如何结合问题分解与计数论证来控制动态规划中相关状态的数量？
• RQ5 尽管问题具有计算难度，该算法能否对任意ε>0在多项式时间内实现(1−ε)-近似？

主要发现

• 本文首次为增量背包问题提出了多项式时间近似方案（PTAS），对任意ε>0实现了(1−ε)-近似解。
• 该算法在输入规模和1/ε上均为多项式时间，因此在已知的难解性结果下，这是可能达到的最佳近似保证。
• 结合状态剪枝与舍入的近似动态规划公式，使状态空间保持多项式规模，且最优性损失可忽略不计。
• 近似动态规划的值函数为真实值函数提供了下界，从而支持(1−ε)-近似保证。
• 分析中引入了新颖技术，如节俭计数和基于簇的分解，这些技术可能适用于其他动态规划问题。
• 该方法最终实现(1−7ε)-近似，通过仔细处理舍入与离散化误差，将最终误差界收紧至(1−7ε)。