[论文解读] An Approximate Riemann Solver for Convection-Pressure Split Euler Equations Using Jordan Canonical Forms

Naveen Kumar Garg, S. V. Raghurama Rao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于欧拉方程的迎风数值求解器，利用若尔当代数标准型处理真正弱双曲子系统（标准特征向量不完备）的问题，通过构造一组完整的线性无关广义特征向量。该方法实现了在对流-压力分裂格式中的稳定通量差分分裂，已在一维和二维基准问题上得到验证，尤其针对激波不稳定性问题。

ABSTRACT

In this study, we analyze convection-pressure split Euler flux functions which contain genuine weakly hyperbolic convection subsystems. A system is said to be a genuine weakly hyperbolic if all eigenvalues are real with no complete set of linearly independent (LI) eigenvectors. To construct an upwind solver based on flux difference splitting (FDS) framework, we require to generate complete set of LI eigenvectors. This can be done through addition of generalized eigenvectors which can be computed from theory of Jordan canonical forms. Once we have complete set of LI generalized eigenvectors, we construct upwind solvers in convection-pressure splitting framework. Since generalized eigenvectors are not unique, we take extra care to ensure no direct contribution of generalized eigenvectors in the final formulation of both the newly developed numerical schemes. First scheme is based on Zha and Bilgen type splitting approach, while second is based on Toro and Vazquez splitting. Both the schemes are tested on several bench-mark test problems on 1-D and one of them is tested on some typical 2-D test problems which involve shock instabilities. The concept of generalized eigenvector based on Jordan forms is found to be useful in dealing with the genuine weakly hyperbolic parts of the considered Euler systems.

研究动机与目标

• 解决当对流子系统为真正弱双曲时（实特征值但无完整的线性无关特征向量组），求解对流-压力分裂欧拉方程的挑战。
• 在通量差分分裂（FDS）框架内，为这类系统开发一种鲁棒的迎风求解器，其中标准特征系统方法因特征向量不完备而失效。
• 确保用于补全特征系统的一组广义特征向量不直接参与最终数值通量的构造。
• 在标准一维和选定二维基准问题上验证所提方案，尤其关注涉及激波特性的不稳定问题。

提出的方法

• 利用若尔当代数标准型理论，计算真正弱双曲的对流子系统（实特征值，特征向量组不完备）的广义特征向量。
• 构建一组完整的线性无关广义特征向量基，以实现迎风求解器中的通量差分分裂。
• 应用两种不同的通量分裂方法：Zha 和 Bilgen 类型分裂以及 Toro 和 Vazquez 类型分裂，二者均适配广义特征向量框架。
• 通过精心设计变换与通量重构过程，确保广义特征向量不出现在最终数值通量中。
• 在有限体积框架中实现所提出的方案，并在含激波和间断的一维和二维欧拉方程基准问题上进行测试。
• 利用若尔当标准型系统处理由对流-压力分裂引起的非对角化系统，同时保持迎风特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对流子系统为真正弱双曲时，如何构建一种稳定迎风通量差分分裂格式，用于对流-压力分裂的欧拉方程？
• RQ2 通过若尔当代数标准型导出的广义特征向量在求解非对角化对流子系统的数值求解器中起到何种作用？
• RQ3 是否可以系统性地避免在最终通量表达式中包含广义特征向量，同时仍保持数值稳定性和精度？
• RQ4 与标准方法相比，所提出的方案在涉及激波特性的基准一维和二维问题上的表现如何？

主要发现

• 通过若尔当代数标准型使用广义特征向量，成功构建了真正弱双曲对流子系统的完整基。
• 基于 Zha 和 Bilgen 以及 Toro 和 Vazquez 分裂的所提方案，在含激波特性的二维和一维测试问题上均实现了稳定数值解。
• 最终的数值通量表达式中不包含广义特征向量的直接贡献，保持了通量分裂的物理结构。
• 该方法有效处理了欧拉方程中对流子系统的非对角化特性，克服了标准特征系统求解器的局限性。
• 所提方案在捕捉激波和间断时表现出鲁棒性，且在测试基准中未引入虚假振荡。