[论文解读] An Approximation Algorithm for the Exact Matching Problem in Bipartite Graphs

Anita Dürr, Nicolas El Maalouly+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种确定性多项式时间算法，用于在二分图中近似求解精确匹配（EM）问题，目标是找到一个完美匹配，其中红色边的数量至多为 k 条，同时确保至少包含 k 的三分之一的红色边。该算法通过迭代选择边并计算最小红色边数的完美匹配，实现了红色边数量的 3-近似比，相比之前的方法（允许最多 1.5k 条红色边）有显著改进。

ABSTRACT

In 1982 Papadimitriou and Yannakakis introduced the Exact Matching problem, in which given a red and blue edge-colored graph $G$ and an integer $k$ one has to decide whether there exists a perfect matching in $G$ with exactly $k$ red edges. Even though a randomized polynomial-time algorithm for this problem was quickly found a few years later, it is still unknown today whether a deterministic polynomial-time algorithm exists. This makes the Exact Matching problem an important candidate to test the RP=P hypothesis. In this paper we focus on approximating Exact Matching. While there exists a simple algorithm that computes in deterministic polynomial-time an almost perfect matching with exactly $k$ red edges, not a lot of work focuses on computing perfect matchings with almost $k$ red edges. In fact such an algorithm for bipartite graphs running in deterministic polynomial-time was published only recently (STACS'23). It outputs a perfect matching with $k'$ red edges with the guarantee that $0.5k \leq k' \leq 1.5k$. In the present paper we aim at approximating the number of red edges without exceeding the limit of $k$ red edges. We construct a deterministic polynomial-time algorithm, which on bipartite graphs computes a perfect matching with $k'$ red edges such that $k/3 \leq k' \leq k$.

研究动机与目标

• 设计一种确定性多项式时间算法，通过保证完美匹配中红色边数量接近 k，来近似求解二分图中的精确匹配问题。
• 通过将解的上界约束为不超过 k 条红色边，改进之前允许最多 1.5k 条红色边的近似算法。
• 实现紧致的 3-近似比，确保输出匹配中的红色边数量至少为 k 的 1/3。
• 解决在受限红色边数的完美匹配近似方面长期缺乏进展的问题，尽管在近似完美匹配方面已有大量研究。

提出的方法

• 算法遍历图中的所有边 e，并计算包含 e 的完美匹配中红色边数最少的匹配。
• 对于每条边 e，使用边权为红色边设为 1、蓝色边设为 0 的最小权完美匹配算法。
• 选择使得匹配中红色边数最少的边 e。
• 最终输出是所有边迭代中找到的红色边数最少的完美匹配，确保红色边数至少为 k/3。
• 正确性依赖于证明：图中至少存在一条边 e，使得其对应的最小红色边数完美匹配包含至少 k/3 条红色边，从而保证 3-近似比。
• 该算法在确定性多项式时间内运行，利用标准匹配算法作为子程序。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性多项式时间算法，用于近似求解二分图中的精确匹配问题，同时确保红色边数量不超过 k？
• RQ2 在红色边数量不超过 k 的约束下，能否实现比 3 更好的红色边数量近似比？
• RQ3 是否存在一种匹配，其红色边数量至少为 k/3，且可通过边迭代与最小红色边数匹配计算高效求得？
• RQ4 若考虑大于单条边的边子集而非单条边，能否改进近似比？
• RQ5 在二分图中，EM-opt 变种的最紧致可能近似比是多少？

主要发现

• 所提出的算法计算出一个包含 k′ 条红色边的完美匹配，使得 1/3 k ≤ k′ ≤ k，实现了 3-近似比。
• 该算法在确定性多项式时间内运行，适用于对随机性不满意的实用部署场景。
• 正确性证明依赖于证明：图中至少存在一条边 e，其对应的最小红色边数完美匹配包含至少 k/3 条红色边。
• 该算法改进了以往允许最多 1.5k 条红色边的工作，通过强制红色边数量不超过 k。
• 对 3-近似比的分析是紧致的，表明若要将近似比改进至 2，将需要全新的技术。
• 作者推测，若将迭代对象从单条边扩展为常数大小的边子集，可能获得更优的近似比，但此类扩展仍具挑战性。