[论文解读] An approximation of the Gröbner basis of ideals of perturbed points, part I

Claudia Fassino|ArXiv.org|Mar 6, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出一种数值算法，用于在仅知坐标的有限精度下，近似计算在扰动点处消失的理想之格罗布纳基。该方法结合了预处理步骤以稳定输入数据，以及基于阈值的数值 Buchberger-Möller 算法，以计算一个近似基 $\overline{GB}$，其结构与参考格罗布纳基一致，首项被保留，且多项式在误差界内接近精确情况。

ABSTRACT

We develop a method for approximating the Gröbner basis of the ideal of polynomials which vanish at a finite set of points, when the coordinates of the points are known with only limited precision. The method consists of a preprocessing phase of the input points to mitigate the effects of the input data uncertainty, and of a new "numerical" version of the Buchberger-Möller algorithm to compute an approximation $\bar{GB}$ to the exact Gröbner basis. This second part is based on a threshold-dependent procedure for analyzing from a numerical point of view the membership of a perturbed vector to a perturbed subspace. With a suitable choice of the threshold, the set $\bar{GB}$ turns out to be a good approximation to a "possible" exact Gröbner basis or to a basis which is an "attractor" of the exact one. In addition, the polynomials of $\bar{GB}$ are "sufficiently near" to the polynomials of the extended basis, introduced by Stetter, but they present the advantage that $LT(\bar{GB})$ coincides with the leading terms of a "possible" exact case. The set of the preprocessed points, approximation to the unknown exact points, is a pseudozero set for the polynomials of $\bar{GB}$.

研究动机与目标

• 解决真实世界数据中点坐标发生微小扰动时格罗布纳基计算的结构性不连续问题。
• 开发一种鲁棒方法，在精确坐标未知且仅有有界误差估计可用时，近似计算格罗布纳基。
• 定义一个“参考基”，其结构在所有允许的输入集合（在误差界内）中保持一致。
• 确保计算出的近似 $\overline{GB}$ 的首项与可能的精确格罗布纳基一致，保持结构完整性。
• 提供一种数值稳定的算法，生成的多项式足够接近 Stetter 扩展基，且误差界可控。

提出的方法

• 通过将坐标在容差 $s_0$ 内的点分组，并用其中位数替代簇中心，对输入点进行预处理，以减少数据不确定性。
• 从预处理后的点构建伪零点集 $\overline{\cal P}$，确保所有预处理后的值之间间隔大于 $s_0$。
• 应用依赖于阈值的数值过程，测试扰动向量是否属于扰动子空间，以模拟精确格罗布纳基的计算过程。
• 在数值环境下使用 Buchberger-Möller 算法，通过阈值评估线性相关性，以处理舍入误差和扰动误差。
• 将 $\overline{GB}$ 定义为支持位于 $\overline{\cal N} \cup {\cal C}[\overline{\cal N}]$ 的多项式集合，其中 $\overline{\cal N}$ 为参考正规集。
• 使用 $\epsilon_t \leq Deg(t)\delta_R$ 和 $\epsilon_M \leq \sqrt{k}\,d_M\delta_R$ 对近似误差进行界控，其中 $\delta_R$ 为坐标的相对误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当坐标因测量误差而发生扰动时，如何计算理想点格罗布纳基的稳定近似？
• RQ2 何种标准可定义一个‘参考基’，使其在给定误差界内所有允许的输入集合中保持结构一致性？
• RQ3 能否设计一种适用于扰动数据的 Buchberger-Möller 算法数值版本，同时保留可能的精确格罗布纳基的首项？
• RQ4 与原始扰动集合 $\widehat{\cal P}$ 相比，预处理后的点集 $\overline{\cal P}$ 在多大程度上提升了数值稳定性？
• RQ5 能否推导出基于坐标扰动和多项式次数的近似误差上界？

主要发现

• 预处理后的点集 $\overline{\cal P}$ 确保所有值之间间隔大于 $s_0$，从而支持稳定的数值计算。
• 计算出的近似 $\overline{GB}$ 的首项与可能的精确格罗布纳基一致，保持了结构完整性。
• $\overline{GB}$ 中的多项式足够接近 Stetter 的扩展基，且 $LT(\overline{GB})$ 与参考情况的首项一致。
• 在扰动点处评估项 $t$ 的相对误差上界为 $\epsilon_t \leq Deg(t)\delta_R$，其中 $\delta_R$ 为坐标的最大相对误差。
• 矩量矩阵的弗罗贝尼乌斯范数误差满足 $\epsilon_M \leq \sqrt{k}\,d_M\delta_R$，其中 $k$ 为项数，$d_M$ 为最大次数。
• 该方法确保 $\overline{GB}$ 即使在精确点未知且数据存在不确定性时，仍为参考基的良好近似。