[论文解读] An approximation scheme for an Eikonal Equation with discontinuous coefficient

Adriano Festa, Maurizio Falcone|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 27被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种半拉格朗日格式，用于近似求解具有不连续系数的静止型哈密顿-雅可比方程的粘性解，具体为一个Eikonal方程，其中右侧项 $ f(x) $ 可能不连续，且哈密顿量在某些点可能退化（消失）。主要贡献是在 $ L^1(Ω) $ 范数下建立了先验误差估计，证明了即使在存在不连续性和退化的情况下仍能收敛，该方法通过在图像处理和控制理论中的应用得到了验证。

ABSTRACT

We consider the stationary Hamilton-Jacobi equation where the dynamics can vanish at some points, the cost function is strictly positive and is allowed to be discontinuous. More precisely, we consider special class of discontinuities for which the notion of viscosity solution is well-suited. We propose a semi-Lagrangian scheme for the numerical approximation of the viscosity solution in the sense of Ishii and we study its properties. We also prove an a-priori error estimate for the scheme in an integral norm. The last section contains some applications to control and image processing problems.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有不连续和退化系数的哈密顿-雅可比方程的数值格式，其中由于 $ f(x) $ 的不连续性，经典粘性解理论面临挑战。
• 解决在应用于不连续哈密顿量时，特别是当 $ f $ 不连续且矩阵 $ b_{ij}(x) $ 可能消失时，缺乏 $ L^1 $ 范数下的理论收敛结果的问题。
• 提供一种鲁棒的数值方法，能够处理 $ f $ 中的不连续性，包括在形状-光照恢复形状和机器人导航等实际应用中出现的情况。
• 为所提出的半拉格朗日格式在 $ L^1(Ω) $ 范数下建立先验误差估计，确保在适当条件下实现收敛。
• 通过在图像处理和控制理论中的应用，展示该方法的有效性，特别是在重建具有不连续性的表面方面。

提出的方法

• 本文采用半拉格朗日格式，对具有不连续系数的Eikonal方程 $ b_{ij}(x)u_{x_i}u_{x_j} = [f(x)]^2 $ 的粘性解进行数值逼近，其中 $ f $ 为博雷尔可测且可能不连续。
• 采用Ishii的粘性解概念，并通过适当的上、下半连续包络来定义在存在不连续哈密顿量时的解。
• 为处理 $ b_{ij}(x) $ 可能消失的退化情况，作者对 $ f $ 应用正则化和截断技术，证明当 $ \epsilon \to 0^+ $ 时，解收敛到最大次解。
• 采用半拉格朗日方法分析，通过向后追踪特征线，允许更大的时间步长和非结构化网格，从而提高稳定性和精度。
• 通过一个随图像梯度自适应的矩阵 $ \sigma $ 引入各向异性扩散，增强了在形状-光照恢复形状应用中对边缘和不连续性的重建能力。
• 在 $ L^1 $ 范数下推导出先验误差估计，证明在 $ f $ 的正则性和不连续性结构满足适当假设时，解具有收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 半拉格朗日格式是否能在 $ L^1 $ 范数下实现对具有不连续和退化系数的哈密顿-雅可比方程的收敛？
• RQ2 当 $ f(x) $ 不连续且 $ b_{ij}(x) $ 可能消失时，如何一致地定义Eikonal方程的粘性解？
• RQ3 不连续数据对解的正则性有何影响，数值格式能否保持这种行为？
• RQ4 与经典的有限差分法或水平集方法相比，该格式在从图像数据重建不连续表面方面表现如何？
• RQ5 该格式能否被调整以处理实际图像处理问题，如具有不连续灰度图的形状-光照恢复形状？

主要发现

• 所提出的半拉格朗日格式在 $ L^1(Ω) $ 范数下实现了收敛，并具有可证明的先验误差估计，即使在 $ f(x) $ 不连续且 $ b_{ij}(x) $ 可能消失的情况下也成立。
• 该方法成功地从简化的SFS数据中重建了圣保禄大教堂外部的形状，捕捉到了屋顶坡度和极大值等主要特征。
• 当在轮廓线上施加正确的边界数据时，$ L^1 $ 误差从无数据时的1.5818降至0.5617，进一步降至使用不连续动力学时的0.3062，显示出显著改进。
• 通过使用各向异性的 $ \sigma $ 矩阵引入不连续动力学，使解能够表现出不连续性，克服了经典粘性解必为Lipschitz连续的局限性。
• 该格式在重建锐利边缘和不连续性方面优于标准方法，表现为在引入不连续性检测后，$ L^∞ $ 误差从1.7831降至0.7901。
• 对 $ f $ 的正则化和截断确保了解收敛到最大次解，这在形状-光照恢复形状等应用中是物理解释意义明确的解。