[论文解读] An Arakelov-Theoretic Approach to Naïve Heights on Hyperelliptic Jacobians

David Holmes|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文提出了一种阿拉凯洛夫理论方法，用于在超椭圆雅可比簇上定义一个可计算的朴素高度，该高度与内森-塔特高度之差为有界常数，从而实现‘原则上’的算法，以计算所有有界内森-塔特高度的点。关键贡献在于通过正规模型与交点理论，实现了实际的界计算，并在函数域上的基因数高达11的曲线上进行了演示。

ABSTRACT

We use Arakelov theory to define a height on divisors of degree zero on a hyperelliptic curve over a global field, and show that this height has computably bounded difference from the Néron-Tate height of the corresponding point on the Jacobian. We give an algorithm to compute the set of points of bounded height with respect to this new height. This provides an `in principle' solution to the problem of determining the sets of points of bounded Néron-Tate heights on the Jacobian. We give a worked example of how to compute the bound over a global function field for several curves, of genera up to 11.

研究动机与目标

• 开发一种在超椭圆雅可比簇上可计算的朴素高度，其与内森-塔特高度之差为有界常数。
• 提供一种算法框架，用于确定超椭圆曲线雅可比簇上所有有界内森-塔特高度的点。
• 通过使用阿拉凯洛夫理论与正规模型，克服传统射影嵌入方法在高基因数下的计算不可行性。
• 展示在高基因数（高达11）的全局函数域上，通过正规模型与交点理论实现界计算的可行性，尤其针对在无穷远处具有有理魏尔斯特拉斯点的曲线。

提出的方法

• 本文通过使用在除子点的x坐标处消失的多项式的对数高度，并借助2θ线丛与射影嵌入关联，定义了朴素高度。
• 应用阿拉凯洛夫理论，通过非阿代尔和阿代尔位置的局部贡献，界定了朴素高度与内森-塔特高度之间的差异。
• 通过在光滑中心处的爆破构造曲线的正规模型，利用特殊纤维的交点矩阵的广义逆（Moore-Penrose伪逆）来计算界。
• 对于函数域，界由伪逆矩阵的最大元素与最长连续爆破链的长度决定，从而得出显式常数。
• 在MAGMA中实现计算，使用Donnelly的正规模型函数，界由特殊纤维的结构与模型的几何性质导出。
• 最终的界表示为log p与g²项的线性组合，对F_p(t)上基因数2、4与11的曲线计算出显式数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿拉凯洛夫理论方法能否在超椭圆雅可比簇上产生一个可计算的朴素高度，且其与内森-塔特高度之差为有界常数？
• RQ2 在高基因数下，特别是函数域上，朴素高度与内森-塔特高度之间的差异大小如何？
• RQ3 是否可以使用正规模型与交点理论，显式计算出基因数大于3的曲线的此类界？
• RQ4 该方法在实践中是否能够高效实现？是否将计算瓶颈从界计算转移到点搜索？
• RQ5 在正特征下，界如何随基因数与域大小变化？

主要发现

• 对于F_3(t)上的基因数2曲线，界满足对所有q ∈ Jac_C(K)，有h^†(q) ≤ ĥ(q) + 86 log 3。
• 对于F_5(t)上的基因数4曲线，界为h^†(q) ≤ ĥ(q) + 417 log 5。
• 对于F_101(t)上的基因数11曲线，界为h^†(q) ≤ ĥ(q) + 5790 log 101。
• 基因数11情况下，界计算耗时不足60秒，表明其具有实际可行性。
• 最长连续爆破链在基因数11时为12次，基因数2时为10次，基因数4时为7次，基因数11的特殊纤维中有49个不可约分支。
• 交点矩阵的Moore-Penrose伪逆的最大元素为4.102…，最小元素为-8.076…，对最终界计算有贡献。