[论文解读] An arbitrary-order discrete de Rham complex on polyhedral meshes: Exactness, Poincar\'e inequalities, and consistency

Daniele A. Di Pietro, Jérôme Droniou|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 54被引用 29

一句话总结

本文提出了一种在多边形网格上具有任意阶次的离散de Rham复形，确保了精确性、一致的Poincaré不等式以及与相容有限元类格式的一致性。通过使用向量微分算子和Koszul型补空间对多项式空间进行分解，该方法构建了保持连续de Rham复形的拓扑与几何结构的非协调、全离散空间与算子，从而为磁静力学问题提供了最优误差估计。

ABSTRACT

In this paper we present a novel arbitrary-order discrete de Rham (DDR) complex on general polyhedral meshes based on the decomposition of polynomial spaces into ranges of vector calculus operators and complements linked to the spaces in the Koszul complex. The DDR complex is fully discrete, meaning that both the spaces and discrete calculus operators are replaced by discrete counterparts, and satisfies suitable exactness properties depending on the topology of the domain. In conjunction with bespoke discrete counterparts of $L^2$-products, it can be used to design schemes for partial differential equations that benefit from the exactness of the sequence but, unlike classical (e.g., Raviart--Thomas--N\'ed\'elec) finite elements, are nonconforming. We prove a complete panel of results for the analysis of such schemes: exactness properties, uniform Poincar\'e inequalities, as well as primal and adjoint consistency. We also show how this DDR complex enables the design of a numerical scheme for a magnetostatics problem, and use the aforementioned results to prove stability and optimal error estimates for this scheme.

研究动机与目标

• 开发一种适用于一般多边形网格的相容非协调有限元方法，以保持de Rham复形的精确性。
• 确保在不同网格尺寸下离散范数的统一Poincaré不等式。
• 建立离散向量微分算子在插值意义上的原问题与伴随问题一致性。
• 为构建PDE（如磁静力学）的稳定且最优收敛的格式提供一个框架。
• 通过统一的代数与几何分解方法，将现有的Raviart-Thomas与Nédélec元推广至任意阶次和多边形单元。

提出的方法

• 通过Koszul复形将多项式空间分解为向量微分算子（梯度、旋度、散度）的像空间与正交补空间。
• 在网格实体（单元、面、边）上定义离散空间，自由度与多项式矩相关联。
• 利用局部重构与提升技术构造离散向量微分算子（梯度、旋度、散度）。
• 通过势能重构与分量范数引入离散L2内积，以确保稳定性和一致性。
• 采用局部提升算子（如旋度提升）证明有界性与交换性质。
• 运用尺度分析与逆不等式推导统一有界性与Poincaré型估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般多边形网格上构建一个全离散de Rham复形，使其在离散层面上保持精确性？
• RQ2 离散算子是否满足与网格尺寸无关的统一Poincaré不等式？
• RQ3 离散算子在原问题与伴随问题形式下是否与连续对应算子保持一致性？
• RQ4 该离散复形能否用于设计一个磁静力学问题的稳定且最优收敛的格式？
• RQ5 如何利用向量微分算子与Koszul补空间的多项式分解来构建任意阶次的非协调方法？

主要发现

• 所提出的离散de Rham复形实现了精确性：Im(𝑖Ω) = Ker(grad)，Im(grad) = Ker(curl)，Im(curl) = Ker(div)，且Im(div) = L2(Ω)，在拓扑假设下成立。
• 证明了统一的离散Poincaré不等式：对所有u ∈ (grad H1(T))⊥，有‖u‖L2(T) ≲ h_T ‖grad u‖L2(T)，并对旋度与散度有类似估计。
• 原问题一致性成立：离散梯度、旋度与散度算子与插值算子的交换误差为O(h^k)阶。
• 伴随问题一致性已确立：离散算子满足分部积分恒等式，且一致性误差最优，为O(h^k)阶。
• 离散L2内积与连续L2内积等价，确保了离散范数的稳定性和有界性。
• 对于磁静力学问题，该格式实现了最优收敛：‖B - B_h‖L2(Ω) ≲ h^k，其中k为多项式阶次，且在适当正则性条件下成立。