[论文解读] An area law and sub-exponential algorithm for 1D systems

Itai Arad, Alexei Kitaev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Quantum many-body systems参考文献 6被引用 90

一句话总结

本论文提出了一维（1D）非简并量子系统的面积定律的新证明，将纠缠熵的界改进为 $ O(\log^3 d / \epsilon) $，其中 $ d $ 为局部希尔伯特空间维数，$ \epsilon $ 为能隙。该方法基于哈密顿量直接构造基于切比雪夫多项式的近似基态投影算符（AGSP），避免依赖检测性引理，从而可应用于一般（有 frustration 的）1D 哈密顿量。该方法给出了一种子指数时间算法，用于近似计算基态能量，其张量维度 $ B = \tilde{O}(\exp(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $，表明该问题除非 3-SAT 可在子指数时间内求解，否则不太可能是 NP-难的。

ABSTRACT

Analog quantum simulation is a promising path towards solving classically intractable problems in many-body physics on near-term quantum devices. However, the presence of noise limits the size of the system and the length of time that can be simulated. In our work, we consider an error model in which the actual Hamiltonian of the simulator differs from the target Hamiltonian we want to simulate by small local perturbations, which are assumed to be random and unbiased. We analyze the error accumulated in observables in this setting and show that, due to stochastic error cancellation, with high probability the error scales as the square root of the number of qubits instead of linearly. We explore the concentration phenomenon of this error as well as its implications for local observables in the thermodynamic limit. Moreover, we show that stochastic error cancellation also manifests in the fidelity between the target state at the end of time-evolution and the actual state we obtain in the presence of noise. This indicates that, to reach a certain fidelity, more noise can be tolerated than implied by the worst-case bound if the noise comes from many statistically independent sources.

研究动机与目标

• 建立一维非简并哈密顿量基态纠缠熵的更紧致、指数级改进的界。
• 提出一种不依赖检测性引理的通用 AGSP 构造方法，适用于有 frustration 的哈密顿量。
• 证明基态可用张量维数为次线性的矩阵乘积态（MPS）近似，从而表明基态能量近似存在子指数时间算法。
• 证明一维哈密顿量幂次的纠缠秩具有新颖的“随机游走式”界。

提出的方法

• 通过限制左右子系统本征值，构造截断哈密顿量 $ H(t) $，在保持能隙结构的同时降低算符范数。
• 利用切比雪夫多项式在 $ H(t) $ 上构建鲁棒的近似基态投影算符（AGSP），确保低纠缠秩并强收敛于基态。
• 建立新界：$ \text{ER}(H^\ell) \leq (\ell d)^{O(\sqrt{\ell})} $，刻画了 1D 系统中“随机游走式”的纠缠增长。
• 将 AGSP 应用于乘积态，证明所得态与基态的误差不超过 $ 1/\text{poly}(n) $。
• 在所得低张量维数的 MPS 上使用动态规划，以子指数时间计算基态能量的 $ 1/\text{poly}(n) $ 近似。
• 利用截断引理证明投影态 $ |\Gamma_t\rangle $ 与真实基态呈指数接近，且为 $ H $ 和 $ H(t) $ 的近似本征态。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维面积定律中的纠缠熵界能否在哈密顿量存在 frustration 的情况下，超越 Hasting 原始结果的 $ \tilde{O}(\log d / \epsilon) $？
• RQ2 能否在不依赖检测性引理的前提下，为一般（有 frustration 的）1D 哈密顿量构造 AGSP？
• RQ3 一维哈密顿量幂次的纠缠秩是否以“随机游走式”方式增长？该增长是否可被控制？
• RQ4 能否构造一个用于近似一维非简并系统基态能量的子指数时间算法，从而表明该问题非 NP-难？

主要发现

• 在一维非简并系统中，任意截面处基态的纠缠熵被限制在 $ O(\log^3 d / \epsilon) $，相比 Hasting 的结果实现了指数级改进。
• 证明了一项新颖的“随机游走式”界：$ \text{ER}(H^\ell) \leq (\ell d)^{O(\sqrt{\ell})} $，该结果在量子多体理论中可能具有独立兴趣。
• 一般一维非简并哈密顿量的基态可用张量维数 $ B = \tilde{O}(\exp(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ 的矩阵乘积态（MPS）近似，该维数在 $ n $ 上为次线性。
• 构造了一个用于近似基态能量的子指数时间算法，误差为 $ 1/\text{poly}(n) $，运行时间满足 $ T \leq \exp(\tilde{O}(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $。
• 此类算法的存在强烈表明，一维非简并哈密顿量基态能量的求解问题并非 NP-难，除非 3-SAT 可在子指数时间内求解。
• 证明了截断态 $ |\Gamma_t\rangle $ 与真实基态呈指数接近，满足 $ \| |\Gamma\rangle - |\Gamma_t\rangle \| \leq 2^{-\Omega(t)} $，且为 $ H $ 和 $ H(t) $ 的近似本征态。