[论文解读] An arithmetic intersection formula for denominators of Igusa class polynomials

Kristin Lauter, Bianca Viray|Project Muse (Johns Hopkins University)|Oct 29, 2012

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本文建立了Siegel模空间上阿贝尔曲面的CM( K ).G₁的ℓ-部分交点数的显式算术交点公式，推广了Bruinier-Yang与Yang的先前工作。作者基于四元数代数中整序的嵌入问题与广义Gross-Zagier理论，提出一种新方法，为任意本原四次CM域K的Igusa类多项式分母的ℓ-进赋值给出可计算公式，即使当𝒪_K不是单生成时也能提供紧致上界。

ABSTRACT

In this paper we prove an explicit formula for the arithmetic intersection number (CM(K).G1)_{\ell} on the Siegel moduli space of abelian surfaces, generalizing the work of Bruinier-Yang and Yang. These intersection numbers allow one to compute the denominators of Igusa class polynomials, which has important applications to the construction of genus 2 curves for use in cryptography. Bruinier and Yang conjectured a formula for intersection numbers on an arithmetic Hilbert modular surface, and as a consequence obtained a conjectural formula for the intersection number (CM(K).G1)_{\ell} under strong assumptions on the ramification of the primitive quartic CM field K. Yang later proved this conjecture assuming that O_K is freely generated by one element over the ring of integers of the real quadratic subfield. In this paper, we prove a formula for (CM(K).G1)_{\ell} for more general primitive quartic CM fields, and we use a different method of proof than Yang. We prove a tight bound on this intersection number which holds for all primitive quartic CM fields. As a consequence, we obtain a formula for a multiple of the denominators of the Igusa class polynomials for an arbitrary primitive quartic CM field. Our proof entails studying the Embedding Problem posed by Goren and Lauter and counting solutions using our previous article that generalized work of Gross-Zagier and Dorman to arbitrary discriminants.

研究动机与目标

• 计算具有复乘的2阶阿贝尔曲线的Igusa类多项式分母的ℓ-进赋值。
• 推广Bruinier-Yang与Yang的先前公式，后者对CM域K施加了限制性假设。
• 为所有本原四次CM域K提供( CM(K).G₁ )_ℓ的紧致上界，即使𝒪_K不是自由生成亦成立。
• 建立一种计算这些分母的方法，提升密码学中构造2阶阿贝尔曲线相关算法的效率。

提出的方法

• 作者研究了在𝔽̄_ℓ上两个ℓ-同源椭圆曲线的乘积极化下，整数环𝒪_K嵌入到该乘积的自同态代数中的问题。
• 他们利用Gross-Zagier与Dorman关于Heegner点理论的推广，计算在四元数代数中的ℤ_ℓ-序上满足嵌入问题的解的数量。
• 关键的技术工具是：基于模ℓ的幂次的迹与范数条件，判断元素w是否属于极大序中理想I的乘数环。
• 他们推导出满足特定整性与迹条件的范数为p^{v_ℓ(δ)}的此类理想I_p的数量公式，使用p-进赋值与范数约束。
• 证明依赖于对ℓ-进四元数代数中序R_p u + R_p δ结构的分析，并证明其为范数有界的理想的p-幂倍。
• 最终计数表示为δ的素因子的乘积，每个局部因子由j ≡ v_ℓ(δ) (mod 2)的求和给出，形式为类数型函数𝔍^{(p)}_{j - r_p}(Tr(w), N(w))。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于本原四次CM域K，Igusa类多项式分母的ℓ-进赋值的确切值是什么？
• RQ2 是否能为所有本原四次CM域K显式计算算术交点数( CM(K).G₁ )_ℓ，而无需假设𝒪_K是单生成的？
• RQ3 ℓ-进四元数代数中嵌入问题的解数与Igusa类多项式分母之间有何关系？
• RQ4 能否为所有本原四次CM域K提供( CM(K).G₁ )_ℓ的紧致、统一上界？
• RQ5 在特殊情形下（例如𝒪_K是实二次子域整数环上的自由生成时），该公式是否可简化？

主要发现

• 本文在𝒪_K是实二次子域整数环上自由生成的假设下，为( CM(K).G₁ )_ℓ提供了显式公式，对所有不在有限集合中的ℓ均成立。
• 为所有本原四次CM域K建立了( CM(K).G₁ )_ℓ的紧致上界，无论𝒪_K的结构如何。
• 嵌入问题的解数被证明等于对所有整除δ且p ≠ ℓ的素数p的乘积，每个局部因子为j ≡ v_ℓ(δ) (mod 2)的求和，形式为𝔍^{(p)}_{j - r_p}(Tr(w), N(w))。
• 理想R_p u + R_p δ的范数整除δ² p^{-r_p}，且证明了w属于乘数环的必要条件为v_p(N(u)) ≥ 2c_p + r_p。
• 当c_p = 0时，此类理想的数量恰好为1，对应于包含u的唯一范数为δ的理想，此时公式显著简化。
• 最终结果给出了任意本原四次CM域K的Igusa类多项式分母的倍数的公式，从而在算法计算中实现了改进的上界。