[论文解读] An artificial viscosity approach to quasistatic crack growth

Rodica Toader, Chiara Zanini|ArXiv.org|Jul 24, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 45

一句话总结

本文提出了一种新颖的人工粘性正则化方法，用于建模脆性材料中不可逆准静态裂纹扩展，其中裂纹演化被定义为能量泛函的粘性 $\varepsilon$-梯度流的极限。该方法通过粘性正则化近似选择解，确保局部稳定性并避免非物理解的跳跃，证明了极限解满足 Griffith 准则的弱形式。

ABSTRACT

We introduce a new model of irreversible quasistatic crack growth in which the evolution of cracks is the limit of a suitably modified $ε$-gradient flow of the energy functional, as the "viscosity" parameter $ε$ tends to zero.

研究动机与目标

• 开发一种不可逆准静态裂纹扩展的选择准则，避免现有变分模型中由全局最小化引起的非物理跳跃。
• 用基于能量最小化下粘性正则化的局部稳定性准则替代全局稳定性。
• 建立满足局部稳定性、不可逆性和能量不等式的准静态演化解的存在性。
• 证明粘性正则化解的极限在粘性 $\varepsilon \to 0$ 的极限下满足 Griffith 准则的弱形式。
• 提供基于应力强度因子导出的局部能量稳定性条件的裂纹扩展严格分析框架。

提出的方法

• 对能量泛函引入粘性正则化，定义一个惩罚快速裂纹扩展的 ${\varepsilon}$-梯度流。
• 构造一族满足小粘性参数 $\varepsilon$ 下粘性演化方程的正则化解 $(u_\varepsilon(t), \sigma_\varepsilon(t))$。
• 使用截断函数 $\varphi$ 和 Cacciopoli 型估计，控制裂纹尖端附近正则化位移 $u^\varepsilon(\sigma)$ 的梯度。
• 证明 $u^\varepsilon(\sigma)$ 在 $H^1$ 中弱收敛至极限 $u^*(\sigma)$，并通过弱形式和边界条件证明其与参考位移 $v(\sigma)$ 一致。
• 建立正则化能量和梯度范数的收敛性，确保极限满足所需的能量不等式和稳定性条件。
• 利用与应力强度因子相关的导数 $\partial_\sigma E(t, \sigma)$，定义避免全局最小化的局部稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于应力强度因子的局部稳定性准则，在准静态裂纹扩展中选择一个物理解释合理的解，避免由全局最小化引起的非物理跳跃？
• RQ2 在缺乏全局稳定性的情况下，粘性正则化解的极限是否满足能量不等式和不可逆性条件？
• RQ3 极限解是否与 Griffith 准则的弱形式一致，特别是在裂纹尖端的应力强度因子方面？
• RQ4 人工粘性方法能否确保正则化解收敛至满足局部稳定性和能量平衡的解？
• RQ5 粘性正则化如何防止在全局稳定模型中可能出现的非物理裂纹扩展？

主要发现

• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，粘性正则化解的极限满足局部单边稳定性条件：对所有 $v \in AD(\psi(t), \sigma(t))$，有 $\mathcal{E}(t)(u(t), \sigma(t)) \leq \mathcal{E}(t)(v, \sigma(t))$。
• 与应力强度因子相关的导数 $\partial_\sigma E(t, \sigma)$ 满足：在几乎所有时间 $t$ 处有 $\partial_\sigma E(t, \sigma(t)) \geq 0$，表明满足 Griffith 准则的弱形式。
• 正则化解在 $H^1$ 中弱收敛至极限 $u^*(\sigma)$，且在区域 $B_{-2} \setminus \Gamma(\sigma)$ 内证明其等于参考位移 $v(\sigma)$。
• $u^\varepsilon(\sigma)$ 的梯度的 $L^2$-范数收敛至 $v(\sigma)$ 的梯度范数，确保极限中能量的一致性。
• 该方法确保能量不等式成立：对所有 $s < t$，有 $\mathcal{E}(t)(u(t), \sigma(t)) \leq \mathcal{E}(s)(u(s), \sigma(s)) + \text{Work}(u; s, t)$。
• 在区域 $\tilde{R}_\varepsilon$ 上的 Cacciopoli 型估计表明 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\tilde{R}_\varepsilon} |Dw_\varepsilon|^2 \, dx = 0$，这对于控制裂纹尖端附近的梯度至关重要。