[论文解读] An asymptotic formula for the displacement field in the presence of small anisotropic elastic inclusions

Elena Beretta, Éric Bonnetier+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Composite Material Mechanics参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文推导了含有小夹杂物的光滑各向异性弹性体中位移场的渐近公式，扩展了以往基于电导率的结果。通过采用诺伊曼边界条件框架，建立了边界位移差的一阶展开式，其形式以夹杂物的测度和一个弹性矩张量 𝕄 表示，该张量编码了各向异性材料对比度和几何特性，且对夹杂物无几何限制。

ABSTRACT

We derive asymptotic expansions for the displacement at the boundary of a smooth, elastic body in the presence of small inhomogeneities. Both the body and the inclusions are allowed to be anisotropic. This work extends prior work of CapdeBoscq and Vogelius ({\em Math. Modelling Num. Anal.} 37, 2003) for the conductivity case. In particular, we obtain an asymptotic expansion of the difference between the displacements at the boundary with and without inclusions, under Neumann boundary conditions, to first order in the measure of the inclusions. We impose no geometric conditions on the inclusions, which need only be measurable sets. The first-order correction contains an elastic moment tensor $\MM$ that encodes the effect of the inclusions. In the case of thin, strip-like, planar inhomogeneities we obtain a formula for $\MM$ only in terms of the elasticity tensors, which we assume strongly convex, their inverses, and a frame on the curve that supports the inclusion. We prove uniqueness of $\MM$ in this setting and recover the formula previously obtained by Beretta and Francini ({\em SIAM J. Math. Anal.}, 38, 2006).

研究动机与目标

• 推导线性弹性力学中方形各向异性夹杂物边界位移差的渐近展开式。
• 将先前基于电导率的渐近公式推广至各向异性弹性力学情形。
• 在仅要求可测性的前提下，无几何限制地刻画弹性矩张量 𝕄。
• 利用弹性张量和曲线框架，显式计算薄的、平面的、带状夹杂物的 𝕄。
• 证明在薄夹杂物情形下矩张量的唯一性，并恢复早期工作中已知的公式。

提出的方法

• 将卡普德博斯克-沃吉勒方法从电导率推广至具有各向异性、强凸弹性张量的线性化弹性力学。
• 推导出如下形式的渐近展开式：$ (u_\epsilon - U)(y) = |\omega_\epsilon| \int_\Omega \mathbb{M}(x) \widehat{\nabla}U(x) : \widehat{\nabla}N(x,y) \, d\mu_x + o(|\omega_\epsilon|) $，在边界 $ \partial\Omega $ 上成立。
• 使用与背景弹性算子 $ \text{div}(\mathbb{C}_0 \widehat{\nabla} \cdot) $ 相关的诺伊曼函数 $ N $。
• 应用科恩不等式和 $ \mathbb{C}_0 $ 的强凸性，以控制位移梯度的 $ L^2 $-范数。
• 对于薄夹杂物，通过有效张量的极限构造 $ \mathbb{M} $，遵循弗朗索瓦-穆拉特的均匀化框架。
• 运用精细正则性理论（李-里纳尔迪）和夹杂物边界上的传输条件，推导出平面薄夹杂物情形下的 $ \mathbb{M} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在线性弹性力学中对小各向异性夹杂物引起的位移扰动进行渐近展开？
• RQ2 在无几何限制的一般各向异性情形下，弹性矩张量 $ \mathbb{M} $ 的结构是什么？
• RQ3 矩张量 $ \mathbb{M} $ 如何依赖于弹性张量 $ \mathbb{C}_0 $、$ \mathbb{C}_1 $ 以及夹杂物的几何形状？
• RQ4 能否显式计算薄的、平面夹杂物的矩张量 $ \mathbb{M} $，并且在强凸性条件下其唯一性是否成立？
• RQ5 所推导的公式是否能恢复各向同性情形下的已知结果，特别是薄夹杂物的情形？

主要发现

• 在 $ \partial\Omega $ 上建立了 $ u_\epsilon - U $ 的一阶渐近展开式，对可测夹杂物成立。
• 一阶校正项涉及一个勒贝格测度 $ \mu $ 和一个弹性矩张量 $ \mathbb{M} \in L^2(\Omega, d\mu) $，其依赖于 $ \mathbb{C}_0 $ 与 $ \mathbb{C}_1 $ 之间的对比度。
• 对于直径趋于零的夹杂物，$ \mu $ 是夹杂物中心的狄拉克测度，且 $ \mathbb{M} $ 依赖于夹杂物的形状和弹性对比度。
• 对于薄的、平面夹杂物，$ \mu $ 支撑于一条光滑曲线 $ \sigma_0 $ 上，且 $ \mathbb{M} $ 通过弹性张量和曲线框架显式刻画。
• 在弹性张量强凸性的条件下，证明了薄夹杂物情形下 $ \mathbb{M} $ 的唯一性。
• 该公式恢复了贝雷塔与弗朗西尼（2006）关于各向同性薄夹杂物的已知结果，验证了与先前工作的自洽性。