[论文解读] An Asymptotic-Preserving all-speed scheme for the Euler and Navier-Stokes equations

Floraine Cordier, Pierre Degond+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Aug 14, 2011

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 22

一句话总结

本文提出了一种适用于欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的渐近保持（Asymptotic-Preserving）全速度范围有限体积格式，可在所有马赫数下保持稳定与准确，涵盖从可压缩流到不可压缩流的全范围。通过隐式处理声学项并采用半隐式离散化，该格式使时间步长与马赫数无关，保持不可压缩极限下的无散度速度场，并通过椭圆型压力方程求解压力，从而以二阶精度一致模拟两种流动状态。

ABSTRACT

We present an Asymptotic-Preserving 'all-speed' scheme for the simulation of compressible flows valid at all Mach-numbers ranging from very small to order unity. The scheme is based on a semi-implicit discretization which treats the acoustic part implicitly and the convective and diffusive parts explicitly. This discretization, which is the key to the Asymptotic-Preserving property, provides a consistent approximation of both the hyperbolic compressible regime and the elliptic incompressible regime. The divergence-free condition on the velocity in the incompressible regime is respected, and an the pressure is computed via an elliptic equation resulting from a suitable combination of the momentum and energy equations. The implicit treatment of the acoustic part allows the time-step to be independent of the Mach number. The scheme is conservative and applies to steady or unsteady flows and to general equations of state. One and Two-dimensional numerical results provide a validation of the Asymptotic-Preserving 'all-speed' properties.

研究动机与目标

• 开发一种在所有马赫数下均保持稳定与准确的数值格式，涵盖从高速可压缩流到低马赫数不可压缩流的全范围。
• 确保该格式具备渐近保持特性，即当马赫数趋于零时，其收敛至不可压缩极限的相容离散格式。
• 保持时间步长与声速无关，从而克服经典显式格式在低马赫数区域的严重CFL限制。
• 在不可压缩区域保持速度场的无散度条件，并正确解析压力。
• 将现有渐近保持格式从等熵情形扩展至包含能量项和一般状态方程的完整欧拉与纳维-斯托克斯方程。

提出的方法

• 采用半隐式有限体积离散化，将声学部分隐式处理，对流与扩散部分显式处理，从而实现与马赫数无关的时间步长。
• 利用交错网格以在不可压缩极限下强制满足速度场的无散度条件。
• 通过组合动量方程与能量方程，推导出椭圆型压力方程，确保在低马赫数区域实现一致的压力重构。
• 对声学项的隐式处理使时间步长基于流体速度而非声速，从而消除低马赫数流动中的刚性问题。
• 采用Kurganov-Tadmor型中心格式实现二阶精度的通量重构。
• 该方法具有守恒性，适用于具有通用状态方程（包括理想气体和真实流体模型）的稳态与非稳态流动。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种单一数值格式，可在无需重新参数化的情况下准确模拟可压缩与不可压缩流动区域？
• RQ2 当马赫数降至极小值（如10−4）时，该格式是否仍能保持稳定与准确？
• RQ3 时间步长是否可保持与马赫数无关，同时正确保持激波传播速度与不可压缩流动行为？
• RQ4 在不可压缩极限下，该格式对速度场无散度条件的满足程度如何？
• RQ5 该格式是否能处理包含能量方程、热传导与相变的复杂流动，并适用于通用状态方程？

主要发现

• 该格式在可压缩与不可压缩区域均实现二阶精度，正确捕捉激波速度并清晰分辨间断结构。
• 在低马赫数区域（ε = 10−4），该格式生成的回流结构与不可压缩极限一致，与专用低马赫数Roe格式结果吻合。
• Roe格式在热驱动方腔测试案例中未能正确捕捉流动结构，而AP格式与低马赫数Roe格式均产生相似且物理准确的结果。
• 热驱动方腔案例中的局部马赫数范围为10−5至10−9，确认处于不可压缩区域，AP格式仍保持稳定与准确。
• 时间步长基于流体速度而非声速，使低马赫数流动中的时间步长远大于显式格式。
• 该格式成功模拟了采用四方程混合模型与真实水/水蒸气状态方程的加热通道内两相流，包含相变与热传导过程。