[论文解读] An asymptotic representation formula for scattering by thin tubular structures and an application in inverse scattering

Yves Capdeboscq, Roland Griesmaier+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文推导出三维薄管状结构电磁散射的渐近表示公式，表明散射场收敛于沿中心曲线的积分，其中包含双阶格林函数和极化张量。关键贡献在于对电极化张量和磁极化张量的逐点表征，结果表明它们与垂直于中心曲线的横截面中的二维张量一致，从而可在不迭代求解麦克斯韦方程组的情况下实现高效的逆散射算法。

ABSTRACT

We consider the scattering of time-harmonic electromagnetic waves by a penetrable thin tubular scattering object in three-dimensional free space. We establish an asymptotic representation formula for the scattered wave away from the thin tubular scatterer as the radius of its cross-section tends to zero. The shape, the relative electric permeability and the relative magnetic permittivity of the scattering object enter this asymptotic representation formula by means of the center curve of the thin tubular scatterer and two electric and magnetic polarization tensors. We give an explicit characterization of these two three-dimensional polarization tensors in terms of the center curve and of the two two-dimensional polarization tensor for the cross-section of the scattering object. As an application we demonstrate how this formula may be used to evaluate the residual and the shape derivative in an efficient iterative reconstruction algorithm for an inverse scattering problem with thin tubular scattering objects. We present numerical results to illustrate our theoretical findings. Mathematics subject classifications (MSC2010): 35C20, (65N21, 78A46)

研究动机与目标

• 推导当薄管状散射体的横截面半径趋于零时，其电磁散射的渐近表示公式。
• 根据其中心曲线和横截面几何形状，表征薄管状散射体的极化张量。
• 通过用简化的渐近模型替代完整的麦克斯韦方程求解，实现逆散射问题中高效迭代重建。
• 展示渐近公式在从远场数据重建薄管状散射体中心曲线中的应用。
• 给出椭圆横截面的显式公式，并通过数值方法验证该方法。

提出的方法

• 利用时 harmonic 麦克斯韦方程，推导自由空间中薄管状散射体的散射电磁场渐近展开。
• 通过 [4, 9] 中的积分方程技术，将 [1, 28] 中的低体积扰动框架推广至无界域。
• 将电极化张量和磁极化张量表征为 3×3 对称矩阵，其中一个特征向量与中心曲线相切，对应特征值为 1。
• 证明在垂直于中心曲线的平面内，三维极化张量恰好等同于横截面的二维极化张量，从而实现维度约简。
• 利用渐近公式在重建算法中构造残差和形状导数，避免在迭代过程中求解麦克斯韦方程组。
• 将该方法应用于具有圆形横截面的逆散射问题，利用远场数据通过迭代方法重建中心曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 当薄管状散射体的横截面半径趋于零时，其散射电磁场的渐近行为如何？
• RQ2 对于一般薄管状散射体，其电极化张量和磁极化张量的显式结构是什么？
• RQ3 极化张量能否用中心曲线的几何形状和二维横截面形状来表示？
• RQ4 如何利用渐近表示公式加速薄管状物体的逆散射算法？
• RQ5 所提出的迭代重建方案在从远场测量中恢复中心曲线方面的性能如何？

主要发现

• 当薄管状散射体的半径趋于零时，散射场收敛于零，但其主导项非平凡，能够捕捉有效的散射行为。
• 极化张量为 3×3 对称矩阵，其中一个特征向量与中心曲线相切，对应特征值为 1，表明纵向极化占主导地位。
• 在垂直于中心曲线的平面内，三维极化张量与横截面的二维极化张量完全一致，从而实现维度约简。
• 对于椭圆横截面，可获得二维极化张量的显式公式，从而实现散射场的完全显式渐近表示。
• 渐近模型使得一种逆散射迭代算法成为可能，该算法在计算残差和形状导数时无需求解任何麦克斯韦系统，显著降低了计算成本。
• 数值结果验证了理论预测，并展示了所提出的重建方案在圆形横截面薄管状散射体中的高效性与准确性。