[论文解读] An asymptotic variance of the self-intersections of random walks

George Deligiannidis, Sergey Utev|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 9

一句话总结

该论文利用一种新颖的达布-维纳类型引理，避免使用经典的塔博伦定理，精确推导出一维和二维随机游走自相交数的渐近方差。证明了长期以来的猜想 $ olimits{var}(V_n) \sim C n^2$ 在 $d=1,2$ 时成立，并证实了凯斯滕与斯皮策关于随机游走在随机景观中功能中心极限定理的猜想。

ABSTRACT

We present a Darboux-Wiener type lemma and apply it to obtain an exact asymptotic for the variance of the self-intersection of one and two-dimensional random walks. As a corollary, we obtain a central limit theorem for random walk in random scenery conjectured by Kesten and Spitzer in 1979.

研究动机与目标

• 解决长期存在的猜想：一维和二维随机游走自相交数的方差渐近为 $O(n^2)$。
• 在增量分布满足一般条件下，为一维和二维情形下的 $\operatorname{var}(V_n)$ 提供精确渐近表达式。
• 建立随机游走在随机景观中的功能中心极限定理，证实凯斯滕与斯皮策的猜想。
• 开发一种基于复生成函数与柯西积分公式的全新方法，避免塔博伦定理所需的单调性假设。

提出的方法

• 引入一种达布-维纳类型引理，分析复变量 $\lambda$ 下 $\operatorname{var}(V_n)$ 生成函数的渐近性质，绕过塔博伦定理。
• 利用柯西积分公式从生成函数中提取系数，实现在无单调性约束下获得精确渐近展开。
• 采用基于局部极限定理技术的直接傅里叶方法，推导方差界而不依赖塔博伦方法。
• 运用条件林德贝格型论证与最大不等式，证明 $Y_n(t)$ 弱收敛于布朗运动。
• 通过截断与纽曼-赖特最大不等式，建立有限维分布的紧致性。
• 依赖局部时渐近性质与 $\sup_\alpha N_\alpha(n)$ 的几乎必然界，控制景观过程的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于吸引到对称柯西分布的一维随机游走，自相交数 $V_n$ 的精确渐近方差是什么？
• RQ2 对于具有非奇异协方差矩阵的二维随机游走，自相交数的精确渐近方差是什么？
• RQ3 凯斯滕与斯皮策猜想的随机游走在随机景观中的功能中心极限定理是否在归一化 $c_n = \sqrt{n \log n}$ 下成立？
• RQ4 是否可以在不假设对称性或不使用塔博伦定理的条件下证明方差猜想？

主要发现

• 对于 $d=1$，在 $f(t) = 1 - \gamma|t| + R(t)$ 且 $R(t) = o(|t|)$ 条件下，$\operatorname{var}(V_n) \sim 4\left(\frac{1}{12\gamma^2} + \frac{1}{\pi^2\gamma^2}\right)n^2$。
• 对于 $d=2$，在 $f(t) = 1 - \frac{1}{2}\langle\Sigma t, t\rangle + R(t)$ 且 $R(t) = o(|t|^2)$ 条件下，$\operatorname{var}(V_n) \sim 4(2\pi)^{-2}|\Sigma|^{-1}(1 + \kappa)n^2$，其中 $\kappa = \int_0^\infty\int_0^\infty \frac{dr\,ds}{(1+r)(1+s)\sqrt{(1+r+s)^2 - 4rs}} - \frac{\pi^2}{6}$。
• 通过复分析方法避免使用塔博伦定理，无需对称性假设，证实了方差猜想 $\operatorname{var}(V_n) = O(n^2)$。
• 证明了随机游走在随机景观中的功能中心极限定理：$Y_n(t) = \sqrt{\pi\gamma} \sum_{i=0}^{[nt]} \xi(S_i)/\sigma\sqrt{2n\log n}$ 几乎必然弱收敛于 $D[0,1]$ 中的布朗运动。
• 有限维分布收敛于布朗运动，且通过截断与最大不等式建立了紧致性。
• 确认了 $V_n / \mathbb{E}[V_n] \to 1$ 几乎必然收敛，依赖于 $O(n^2)$ 方差界及博尔塔乌森等人的结果。