[论文解读] An asymptotics of variance of the lattice points count

Jiřı́ Janáček|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

本文建立了在随机平移与旋转下缩放集合 $ rD \subset \mathbb{R}^d $ 中格点数的渐近方差，证明其在旋转傅里叶变换的二次平均以 $ O(\rho^{-d-1}) $ 衰减的条件下，按 $ C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) r^{d-1} $ 的方式增长。该结果源于对 $ D $ 的各向同性协变函数应用一种类维纳型Tauber定理，将先前针对具有分段 $ C^2 $ 或凸边界集合的结果推广至更一般情形。

ABSTRACT

The variance of the number of lattice points inside the dilated bounded set rD with random position in R^d has asymptotics r^(d-1) if the rotational quadratic average of the modulus of the Fourier transform of the set is O(r^(-d-1)). The asymptotics follows from a Wiener's Tauberian theorem.

研究动机与目标

• 推导随机定位且旋转的缩放集合 $ rD \subset \mathbb{R}^d $ 中格点计数方差的渐近行为。
• 确定 $ D $ 的几何性质与傅里叶分析性质的充分条件，以保证方差按 $ r^{d-1} $ 增长。
• 将已知的方差渐近结果从球体推广至具有正则边界的一般紧致、满维集合。
• 阐明各向同性协变函数及其傅里叶变换在决定渐近方差量纲中的作用。
• 通过Tauber方法，为凸集及具有 $ C^{3/2} $ 光滑边界集合提供一个通用框架。

提出的方法

• 利用特征函数的傅里叶变换 $ \widehat{I_D} $ 及其旋转平均，分析格点计数的方差。
• 将一种类维纳型Tauber定理应用于各向同性协变函数 $ \overline{\gamma_D} $，将其衰减速率与渐近方差联系起来。
• 依赖径向函数傅里叶变换的Hankel变换表示，将 $ \widehat{I_D} $ 与贝塞尔函数关联。
• 通过加权于 $ |A^{-1}n|^{-d-1} $ 的对偶格点求和定义格点常数 $ C_{\mathbf{T}} $。
• 利用关系式 $ \widehat{\overline{\gamma_D}} = \int_{S^{d-1}} |\widehat{I_D}(\rho\xi)|^2 d\xi $，将旋转平均与方差联系起来。
• 采用条件 $ \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) \in L^\infty(\mathbb{R}^+) $ 以确保收敛性与渐近均值行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，集合 $ D \subset \mathbb{R}^d $ 使得随机位置下 $ rD $ 中格点数的方差渐近按 $ r^{d-1} $ 增长？
• RQ2 集合 $ D $ 的傅里叶变换的旋转二次平均如何影响格点计数的渐近方差？
• RQ3 当 $ D $ 具有分段 $ C^2 $ 或凸边界时，方差的精确渐近形式为何？
• RQ4 渐近方差能否用表面积测度 $ H^{d-1}(\partial D) $ 与格点常数 $ C_{\mathbf{T}} $ 表示？
• RQ5 各向同性协变函数 $ \overline{\gamma_D} $ 在通过Tauber方法推导渐近方差时起何作用？

主要发现

• 在随机位置与旋转下，$ rD $ 中格点计数的方差渐近为 $ C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) \Phi(r) r^{d-1} $，其中 $ \Phi(r) $ 满足 $ \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_0^t \Phi(s) ds = 1 $。
• 若 $ \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) $ 有界，则 $ \Phi(r) $ 有界且 $ \limsup_{r\to\infty} \Phi(r) \leq 2 $。
• 若 $ \lim_{\rho\to\infty} \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) $ 存在，则 $ \lim_{r\to\infty} \Phi(r) = 1 $，从而得到精确渐近形式 $ \sim C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) r^{d-1} $。
• 条件 $ \int_{S^{d-1}} |\widehat{I_D}(\rho\xi)|^2 d\xi = O(\rho^{-d-1}) $ 在 $ \rho \to \infty $ 时成立，是实现 $ r^{d-1} $ 渐近形式的充分条件。
• 该结果对具有分段 $ C^2 $ 边界的紧致体及 $ d $ 维凸集成立，因其满足所需的傅里叶衰减条件。
• 格点常数 $ C_{\mathbf{T}} = \frac{1}{2\pi^2 d \kappa_d} \sum_{0 \neq n \in \mathbb{Z}^d} |A^{-1}n|^{-d-1} $ 量化了方差对格点结构的依赖性。