[论文解读] An Atiyah-Singer theorem for gerbes

Aristide Tsemo|ArXiv.org|Feb 5, 2003

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 5

一句话总结

本文建立了一类Gerbe的Atiyah-Singer型指标定理，通过向量丛Gerbe将经典指标定理推广至扭曲K-理论的框架。它在黎曼流形相关的Clifford Gerbe上构造了Dirac算子，并证明：若标量曲率严格为正，则Dirac算子的指标为零，从而通过spin Gerbe将Lichnerowicz定理推广至非旋流形。

ABSTRACT

Let M be a riemannian manifold. The existence of a spin structure on M, enables to study the topology of M. The obstruction to the existence of the spin structure is given by the second Stiefel-Whitney class. This class is the classifying cocycle of a gerbe. One may expect that the study of this gerbe may have topological applications, for example, one may try to generalize the spinors Lichnerowicz theorem in this setting. On this purpose, we must first prove an Atiyah-Singer theorem for gerbes which is the main goal of this paper.

研究动机与目标

• 将Atiyah-Singer指标定理推广至Gerbe的框架，特别是针对传统旋量丛不存在的非旋流形。
• 发展向量丛Gerbe及其上的黎曼度量理论，使Dirac型算子的构造成为可能。
• 为Gerbe定义Chern示性类与指标映射，将K-理论与上同调同构关系推广至扭曲情形。
• 证明当标量曲率为正时，Clifford Gerbe上Dirac算子的指标为零的Lichnerowicz型消失定理。
• 建立与Mayer-Vietoris型构造类似的K-理论类，用于Gerbe算子在开覆盖上的全局指标计算。

提出的方法

• 引入向量丛Gerbe的概念：作为具有GL(V)中结构群的向量丛层的范畴，其过渡数据构成取值于GL(V)子群H的2-上循环。
• 通过将O(n)-标架提升至Spin(n)，定义与黎曼流形M相关的Clifford Gerbe Cl(M)，其过渡函数作用于Clifford代数Cl(R^n)。
• 为Clifford Gerbe配备黎曼度量，并利用Levi-Civita联络与旋联络φ_ij = -1/4 w_ij构造旋量联络。
• 在每个局部平凡化中定义Dirac算子D_{e_U} = ∑ e_i ∇_spin_{e_i}，使用标准正交标架与旋联络。
• 应用Lichnerowicz-Weitzenböck公式D² = ∇*∇ + 1/4 s，将Dirac算子的平方与联络拉普拉斯算子及标量曲率联系起来。
• 利用K-理论中的Mayer-Vietoris序列，将开集上Dirac算子符号的局部K₁-类粘合，实现全局指标计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Atiyah-Singer指标定理能否推广至Gerbe，特别是推广至非旋流形上的spin Gerbe？
• RQ2 当不存在全局旋量丛时，如何在Clifford Gerbe上定义Dirac算子及其指标？
• RQ3 在何种几何条件下，Clifford Gerbe上Dirac算子的指标为零？
• RQ4 能否通过Mayer-Vietoris粘合，全局定义Gerbe上Dirac算子符号的K-理论类？
• RQ5 第二Stiefel-Whitney类作为spin Gerbe的分类上循环，在指标理论中起何作用？

主要发现

• 本文在任意黎曼流形M相关的Clifford Gerbe Cl(M)上构造了定义良好的Dirac算子，即使M不是旋流形亦成立。
• Lichnerowicz-Weitzenböck公式在Clifford Gerbe上的Dirac算子上成立：D² = ∇*∇ + 1/4 s，其中s为标量曲率。
• 若标量曲率s严格为正且M为紧致流形，则每个调和全局旋量必为零，从而导致指标为零。
• 对于具有严格正截面曲率的紧致流形，Clifford Gerbe上Dirac算子的指标为零。
• 从余切丛的K-理论到ℝ的指标映射由对类t(M)的积分给出，即Ind(P) = ∫_{T*M} ch([σ_P']) ∧ t(M)。
• Chern示性类诱导同构K₀(T*M) ⊗ ℝ → H_c^{even}(M, ℝ)，使得可通过余切丛上的特征类计算指标。