[论文解读] An autoencoder-based reduced-order model for eigenvalue problems with application to neutron diffusion

Toby R. F. Phillips, Claire E. Heaney+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 62被引用 67

一句话总结

本文提出了一种基于投影的新型降阶模型（ROM），用于中子扩散中的特征值问题，采用自编码器实现非线性降维，其性能优于传统的本征正交分解（POD）方法。混合SVD-自编码器方法降低了输入复杂度，提升了精度——尤其在k-eff预测方面，其误差比POD和标准自编码器ROM低一个数量级，在二维测试案例中表现显著。

ABSTRACT

Using an autoencoder for dimensionality reduction, this paper presents a novel projection-based reduced-order model for eigenvalue problems. Reduced-order modelling relies on finding suitable basis functions which define a low-dimensional space in which a high-dimensional system is approximated. Proper orthogonal decomposition (POD) and singular value decomposition (SVD) are often used for this purpose and yield an optimal linear subspace. Autoencoders provide a nonlinear alternative to POD/SVD, that may capture, more efficiently, features or patterns in the high-fidelity model results. Reduced-order models based on an autoencoder and a novel hybrid SVD-autoencoder are developed. These methods are compared with the standard POD-Galerkin approach and are applied to two test cases taken from the field of nuclear reactor physics.

研究动机与目标

• 开发一种基于自编码器的投影型降阶模型，用于特征值问题中的非线性降维。
• 比较基于自编码器的ROM与标准POD-伽辽金方法在精度和计算效率方面的表现。
• 提出并评估一种新型混合SVD-自编码器方法，以降低输入维数并提升模型鲁棒性。
• 在涉及材料属性变化的现实反应堆物理测试案例中评估模型性能。
• 证明非线性自编码器在降阶建模中可比线性POD更高效地捕捉复杂解特征。

提出的方法

• 利用自编码器从高保真模型（HFM）快照中学习非线性低维潜在空间，替代线性POD/SVD用于基函数生成。
• 采用混合SVD-自编码器：先对快照应用SVD以降低维数，再输入自编码器，从而降低网络复杂度。
• 通过伽辽金投影将全量控制方程（中子扩散方程）投影到学习到的潜在空间，形成降阶方程组。
• 对已见和未见参数值求解降阶系统，通过训练好的自编码器和降阶矩阵实现在线评估。
• 使用压缩误差、通量分布误差和k-eff误差等指标，与标准POD-伽辽金ROM及标准自编码器ROM进行比较。
• 采用两阶段离线过程：(1) 对训练参数求解HFM，(2) 在快照上训练自编码器和SVD，以生成基函数和潜在表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于自编码器的ROM能否在求解中子扩散特征值问题时实现比POD-伽辽金ROM更高的精度？
• RQ2 混合SVD-自编码器在压缩和解误差方面与标准自编码器及POD基ROM相比表现如何？
• RQ3 自编码器的非线性嵌入是否比线性POD更高效地捕捉解特征，尤其是在复杂或非线性系统中？
• RQ4 与标准自编码器ROM相比，混合SVD-自编码器能否减少过拟合并提升对未见参数值的泛化能力？
• RQ5 通过SVD预处理降低输入维数，对自编码器在模型降维中的精度和训练稳定性有何影响？

主要发现

• 在二维测试案例中，基于混合SVD-自编码器的ROM对未见数据实现了最低的k-eff误差（1.7117 × 10⁻⁴），比POD和标准自编码器ROM低一个数量级。
• 在二维测试案例中，SVD-自编码器ROM将k-eff误差降低了10倍，相比POD基ROM的误差（1.9947 × 10⁻³）。
• SVD-自编码器ROM在已见和未见情况下均表现出更低的压缩误差和通量分布误差，压缩误差为1.7734 × 10⁻²，而POD的压缩误差为5.7756 × 10⁻²。
• 在一维测试案例中，自编码器基ROM将k-eff误差降低了整整一个数量级，相比POD基ROM，证明其在每个潜在变量上能更高效地捕捉信息。
• 混合SVD-自编码器方法降低了输入维数，减少了网络复杂度和过拟合风险，从而提升了泛化能力。
• SVD-自编码器生成的潜在变量在训练数据范围内保持稳定且信息丰富，表明其对解流形实现了鲁棒且有意义的低维表示。