[论文解读] An Automaton Group with PSPACE-Complete Word Problem

Jan Philipp Wächter, A. Weiss|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文构建了一个在二元字母表上的自动机群，其词问题为 PSPACE-完全，解决了 Steinberg 的一个猜想。该构造通过扭曲换位子和 Barrington 的技术，利用 A5 群模拟图灵机的计算过程，同时证明了压缩词问题为 EXPSPACE-完全，从而在字母表大小和复杂度上均达到最优。

ABSTRACT

We construct an automaton group with a PSPACE-complete word problem, proving a conjecture due to Steinberg. Additionally, the constructed group has a provably more difficult, namely EXPSPACE-complete, compressed word problem and acts over a binary alphabet. Thus, it is optimal in terms of the alphabet size. Our construction directly simulates the computation of a Turing machine in an automaton group and, therefore, seems to be quite versatile. It combines two ideas: the first one is a construction used by D'Angeli, Rodaro and the first author to obtain an inverse automaton semigroup with a PSPACE-complete word problem and the second one is to utilize a construction used by Barrington to simulate Boolean circuits of bounded degree and logarithmic depth in the group of even permutations over five elements.

研究动机与目标

• 为解决 Steinberg 的猜想：存在一个自动机群，其词问题为 PSPACE-完全。
• 在二元字母表上构造此类群，实现字母表大小的最优性。
• 证明所构造群的压缩词问题为 EXPSPACE-完全，表明其为一个可证明更难的问题。
• 统一并扩展逆自动机幺半群与 Barrington 的分支程序模拟技术，以达成该结果。

提出的方法

• 改编 D’Angeli、Rodaro 和 Wächter（2019）的主归约，将图灵机的计算直接编码为自动机群。
• 采用 Barrington 的方法，利用五元素上偶置换群 A5 模拟有界深度、常数扇入的布尔电路。
• 使用扭曲换位子和直线程序，将图灵机的配置编码为群元素。
• 构建一个在二元字母表 Σ 上的 G-自动机 T = (Q, Σ, δ)，其中 |Σ| = 2，群元素对应表示图灵机配置的状态序列。
• 应用对数空间构造，生成复杂群元素的直线程序，实现高效压缩。
• 利用空间层次定理证明压缩词问题严格难于标准词问题，从而实现 EXPSPACE-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在二元字母表上构造一个自动机群，使其词问题为 PSPACE-完全？
• RQ2 此类群的压缩词问题是否可证明比标准词问题更难？
• RQ3 Barrington 利用置换群模拟 NC1 电路的技术能否被改编用于自动机群？
• RQ4 该构造是否允许在群结构内直接模拟图灵机的计算过程？
• RQ5 能否证明词问题为 PSPACE-完全，同时确保压缩词问题为 EXPSPACE-完全？

主要发现

• 本文构建了一个在二元字母表上的自动机群，其词问题为 PSPACE-完全，证实了 Steinberg 的猜想。
• 同一群的压缩词问题被证明为 EXPSPACE-完全，显示出复杂度上的严格分层。
• 该构造通过群中的扭曲换位子和直线程序，直接模拟了图灵机的计算过程。
• 该群基于五元素上偶置换群 A5 构建，但通过自动机实现将字母表大小最小化至二。
• 证明表明词问题属于 PSPACE 且 PSPACE-难，压缩词问题属于 EXPSPACE 且 EXPSPACE-难，使用对数空间生成压缩输入。
• 该结果在字母表大小上达到最优，因为任何更小的字母表（即一元字母表）都无法在自动机群中支持此类 PSPACE-完全的词问题。