[论文解读] An automorphic variant of the Deligne conjecture

Jie Lin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了在二次虚域上，对 $GL_n \times GL_{n'}$ 自守表示的 Rankin-Selberg L-函数的 Deligne 猜想的自守变体。通过定义自守周期并将其与动机周期关联，作者建立了该猜想的纯自守版本，并在多个情形下证明了其与 Deligne 原始猜想的一致性，包括 $n'=1$、$n>n'$ 且满足奇偶性与间隙条件的情形，以及 $m=1$ 且奇偶性相同的情形。

ABSTRACT

In this paper we introduce an automorphic variant of the Deligne conjecture for tensor product of two motives over a quadratic imaginary field. On one hand, we define some motivic periods and rewrite the Deligne conjecture in terms of these periods. On the other hand, we define the automorphic analogue of these motivic periods and then give a purely automorphic variant of the Deligne conjecture. At last, we introduce some known results of this automorphic variant.

研究动机与目标

• 在二次虚域上，为动机的张量积提出 Deligne 猜想的纯自守版本。
• 定义类似于动机周期的自守周期，并建立其与 Deligne 猜想的一致性。
• 在特定情形下证明自守版本的 Deligne 猜想，包括 $n'=1$、$n>n'$ 且满足间隙条件，以及 $m=1$ 且奇偶性相同的情形。
• 将结果推广至 CM 域，并建立自守周期在基变换下的函子性。

提出的方法

• 为二次虚域上动机的动机周期下定义，并以这些周期重新表述 Deligne 猜想。
• 为二次虚域 $K$ 上 $GL_n(\mathbb{A}_K)$ 的尖形式表示引入自守周期。
• 通过公式 $L(m,\Pi \times \Pi') \sim_{E(\Pi)E(\Pi');K} (2\pi i)^{nn'm} \prod_j P^{(j)}(\Pi)^{sp(j,\Pi;\Pi')} \prod_k P^{(k)}(\Pi')^{sp(k,\Pi';\Pi)}$，建立自守周期与 $L$-函数临界值之间的猜想关系。
• 利用基变换理论，关联不同 CM 域上的自守周期，并建立其在无穷远处的分解性质。
• 在三个关键情形下证明自守版本的 Deligne 猜想：$n'=1$，$n>n'$ 且奇偶性不同且满足间隙条件，以及 $m=1$ 且奇偶性相同。
• 借助 Harris（1997）、Gan-Gross-Prasad（2015）以及作者的论文（2015）中的已知结果，验证了这些情形下的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在自守周期的框架下重新表述二次虚域上动机张量积的 Deligne 猜想？
• RQ2 自守版本的 Deligne 猜想是否与原始的动机猜想相容？
• RQ3 对 $GL_n \times GL_{n'}$ 的 Rankin-Selberg L-函数的临界值是什么？它们如何与自守周期关联？
• RQ4 自守周期在 CM 域的基变换下如何行为？能否在无穷远处进行分解？
• RQ5 一个表示的自守周期与其基变换之间存在何种函子关系？

主要发现

• 当 $n'=1$ 时，无论 $\Pi'$ 是否为共轭自对偶，自守版本的 Deligne 猜想均被证明成立。
• 当 $n>n'$ 且 $n$ 与 $n'$ 奇偶性不同时，若 $-b_j$ 位于 $a_i$ 之间的不同间隙中，该猜想成立。
• 当 $m=1$ 且 $n$ 与 $n'$ 奇偶性相同时，该猜想已验证。
• 自守周期在无穷远处可分解，推广了 Shimura 的一个猜想，并使结果可推广至 CM 域。
• 建立了自守周期在基变换下的函子性，给出了 $L$ 上 $\Pi$ 的周期与 $F$ 上其基变换 $\pi$ 的周期之间的显式关系。
• 当动机周期与自守周期被识别时，自守周期与 $L$-值之间的猜想关系与 Deligne 猜想的预测完全一致。